目标保持型智能体的热力学界限与最优节奏

版本 1.1，2026 年 10 月 11 日。数据与代码：research.openie.dev/data/。LaTeX PDF：/pdfs/latex/agency.pdf（源文件）。

摘要

本文把智能体定义为在能量预算下保持一个目标的系统，推导出它每秒和每焦耳能够行动多快的物理界限，并把智能度量为一次运行完成之后每焦耳的进展。

用平常话说

1. 一个系统要算作智能体，必须瞄准一个目标、作用于世界，并保持在能量预算之内。
2. 物理学为每一个决策设定了最低能量成本，因此任何智能体都不能比这一界限行动得更快或更便宜。
3. 在正确完成工作的系统之中，更聪明的那个是用能量更少的那个。

1. 论点

本提议有三层，而且顺序是固定的。

1. 能动性在先，并且它的定义是必需的。 本研究方向将其提出为能动性普遍定律。从形式上说，它是一个定义加上一道门槛：四个条款说明什么算作智能体，其中第四个条款拒绝任何违反焦耳预算的行动。在定义被满足之前，没有任何东西是智能体。没有它，下游的任何东西都没有定义。
2. 能动性的运动学界限由定义推出。 它们说明能动性每秒和每焦耳能够移动多快，以及移动时必须付出什么。
3. 智能是能动性的微积分。 智能是一种事后特征。它是从一次已完成的运行中读出的，正如速度是从一条已记录的路径中读出的。因此它是能动性的导数：$\iota =dX/dJ$，其中 $X$ 是已确认的能动性，$J$ 是焦耳。

论点：在通过一项任务正确性检验的系统之中，排序依据是完成所需能量，以焦耳计。

论点要透过它的门槛来解读。能力并没有被丢弃：它就是门槛。Burnell 及其同事要求评估按实例报告结果，而不是报告一个总体值 [333]；Zhou 及其同事以及 Laber 及其同事发现，能力与效率在不同模型和不同推理预算之间独立变化 [334, 335]。这些发现针对的是并非都通过同一谓词的系统。一旦谓词 $C(z)$ 和失败率被固定，除焦耳之外的每一个因素都已在通过门槛时被花掉，这就是论点第二句的含义。经过门槛的排序也已是实践：SPECpower 在给定负载下按每瓦工作量对服务器排序 [338]，通过成本按一个正确答案的成本对模型排序 [336]，每瓦智能按单位功率的准确率对本地模型排序 [337]。本文的贡献是这种排序的焦耳形式，附带一个拒绝条款和一个事后导数，而不是在正确性条件下按成本排序这一想法本身。

门槛与排序把两件常被混为一谈的事情分开：能力与智能。能力是能否通过 $C(z)$。智能是这次通过花费的焦耳有多少。Krakauer、Mitchell 和 Krakauer 从复杂性科学出发划出同一条界线：令人印象深刻的能力不会被误认为智能，智能保留给“迅速而节约地、以最少的能量消耗”解决问题 [339]。两个系统交出同一个正确答案，一个直接给出，一个在长时间绕路之后给出，它们的能力相同。只有前者更智能，而 $J^{\ast }$ 就是区分它们的量。一个系统可以通过花费更多而变得更有能力。只有在同样通过的前提下花费更少，它才变得更智能。

论点有一个精确的形式。正确性是门槛。焦耳是排序。对于一个具有完成性谓词 $C(z)$ 的任务 $q$，系统 $S$ 的正确完成所需焦耳为

$$J_S^{\ast }(q)=\underset{\pi }{\min }\mathbb{E}[J_{\pi }]\text{subject to}\mathrm{Pr}[C(z)=1]\ge 1-\delta$$

最小值取遍 $S$ 能够执行的策略 $\pi$，$\delta$ 是任务所允许的失败率。若任务有截止时间，截止时间被写入 $C(z)$：截止时间之后给出的答案不满足该谓词。因此，正确性、截止时间与任务规模都出现在本研究方向的公式中，并且每一项都以约束的形式出现。没有一项以得分的形式出现。在通过门槛的系统之中，只由焦耳为它们排序。参数、词元、基准得分和价格在这一排序中的权重为零。这就是“坍缩为零”的含义。正确性成为约束，能量成为唯一的度量。这就是论点。高性能计算中的求解所需能量，以及 MLPerf Power 以准确率为门槛的测量，具有相同的形式 [260]。本研究方向在门槛之前放置一个资格定义，并把焦耳解读为一种计量密度。第 2.3 节陈述该排序。命题 8 证明它是系统上的一个全序，并在有界的仪表误差下保持成立，而积分后的 $\iota$ 则不然。

顺序很重要。导数需要一条路径。路径需要某种会移动的东西。定义说明什么在移动。运动学说明它能够如何移动。智能是事后从路径上读出的。

本研究方向用文献来检验这一顺序。它把每一个来源分入三个类别。

• 已证明： 定理与推导。结果由陈述的假设推出。
• 已演示： 实验、测量与仿真。结果是观察到的。
• 观点： 立场论文、框架、定义与哲学。结果是论证出来的。

没有任何来源因其方法而被排除。每一个来源都按它为定义、运动学或微积分提供了什么来归类。

术语

• SI： 国际单位制。
• 焦耳（J）： 能量的 SI 单位。一瓦持续一秒。
• $k_B$： 玻尔兹曼常数，$1.380649\times 10^{-23}$ J/K，按 SI 定义为精确值。
• 熵产生（$\Sigma$）： 一个过程所产生的总熵，以 $k_B$ 为单位。只有对可逆过程它才为零。
• 互信息（$I$）： 一个变量所携带的关于另一个变量的比特数。
• 动力学活性（$A$）： 随机过程中状态之间跳跃的速率。它度量动力学有多繁忙。
• TUR（热力学不确定性关系）： 一条把一个流的精度与其熵产生联系起来的定理。
• NMR（核磁共振）： 一种控制并读取分子自旋的方法。
• 不稳定率（$\Lambda$）： 一个不受控的世界偏离目标的速度，以奈特每秒计。对于以每秒 $f$ 步运行的线性受控对象，$\Lambda =f{\sum }_{|{\lambda }_i|>1}\ln |{\lambda }_i|$。
• 重置误差（$\epsilon$）： 一个重置记录不处于其最可能状态的概率。
• 计数可观测量： 轨迹的一个对选定跳跃进行计数的量。它从不减少。
• Radon-Nikodym 导数： 一个测度相对于另一个测度的密度。当第一个测度对第二个测度赋予零质量的每一个集合都赋予零质量时，它存在。
• Mixture of Limits（极限混合）： 使用足够的最便宜机制（档位）这一规则。存在一些下限，越过它们之后，额外的词元、参数或焦耳买不到可验证的进展。越过下限的花费就是浪费。这一下限就是平台（阈值收敛）。Mixture of Limits 不是一个固定的级联。固定的级联顺序是它的一个实例。σ 律选择器是另一个实例。
• 收据： 附加在每一个行动上的记录，保存其预测、其结果和其焦耳。

2. 形式框架

定义固定术语。命题由所引定理证明，并陈述其假设。

图 1 展示这三层如何叠放。

2.1 第 1 层。定义及其门槛：资格

对于一个系统 $S$、一个行动 $a$ 和一个以焦耳计的回合预算 $B$，只有当四个条款全部成立时，资格 $E(S,a)\in \{0,1\}$ 才等于 1。

1. 预测在先。 结果模板 $R^{\ast }(a)$ 在行动之前的时刻 $t_0$ 被固定，并且它具有区分力：$D(R^{\ast }(a))\ge d_0$。这里 $D$ 是该模板拒绝一个在没有该行动时抽取的结果的概率，$d_0>0$ 与模板一同固定。接受所有结果的模板什么也没有预测。
2. 与世界耦合。 $I(\mathrm{do}(a);W^{\prime })>0$。这里 $W^{\prime }$ 是执行器下游的世界状态，$\mathrm{do}(a)$ 是 Pearl 的干预算子 [1]。这种耦合必须在系统自身输入发生改变时依然存在。编辑你自己的传感器不算数 [2]。
3. 承担后果。 比较结果 $m=M(R,R^{\ast }(a))\in \{1,\mu ,0\}$（匹配、部分匹配、不匹配）会改变系统：$s_{t+1}=f(s_t,m)$。
4. 物理下限：焦耳预算。 $J(a)\le B$。如果没有任何行动满足条款 1 至 4，该行动就是拒绝，并附带收据。

物理学已经为条款 1 至 3 定了价。带反馈的第二定律 [3, 4] 以及测量与擦除界 [5] 对温度为 $T$ 的单一热浴给出：

$$W_{\mathrm{ext}}\le -\Delta F+k_{B}TI,W_{\mathrm{meas}}+W_{\mathrm{erase}}\ge k_{B}TI$$

这里 $I$ 是该行动的比较所获得的互信息，以奈特计。一比特是 $\ln 2$ 奈特，因此每比特的代价是 $k_{B}T\ln 2$。一个先比较再重置的接受器，在一个闭合循环上每比特至少付出 $k_{B}T\ln 2$ [6, 7]。这个定义从它的第一个条款起就是物理的。

定义 1。耦合

条款 2 用因果信息流来度量。设行动 $a$ 从策略 $p(a)$ 中抽取并通过干预设定，设 $W^{\prime }$ 为执行器下游的世界。则

$$I(\mathrm{do}(a);W^{\prime })=\sum _{a}p(a)\sum _{w}p(w\mid \mathrm{do}(a)){\log }_2\frac{p(w\mid \mathrm{do}(a))}{{\sum }_{a^{\prime }}p(a^{\prime })p(w\mid \mathrm{do}(a^{\prime }))}$$

这是 Ay 和 Polani 定义的从行动节点到 $W^{\prime }$ 的信息流 [8]。它等于干预联合分布 $p(a)p(w\mid \mathrm{do}(a))$ 的互信息。它在所有策略上的最大值是从行动到世界的信道的容量：

$$0\le I(\mathrm{do}(a);W^{\prime })\le \underset{p(a)}{\max }I(\mathrm{do}(a);W^{\prime })\le {\log }_2|\mathcal{A}|$$

这里 $\mathcal{A}$ 是可用行动的集合。Klyubin、Polani 和 Nehaniv 把赋能定义为这一容量，只是用智能体自身未来的传感器代替了 $W^{\prime }$ [9]。条款 2 取的是世界一侧，因此编辑传感器不会增加任何东西 [2]。

实现值，而非容量。 记在一个行动名下的量，是智能体所运行策略下实际实现的信息流：在该 $p(a)$ 下的 $I(\mathrm{do}(a);W^{\prime })$。容量是一个上界，从不计入。一个系统不会因为它本可以建立却没有建立的耦合而获得记功。

估计。 信息流从收据中估计。智能体的随机化策略分配行动，因此收据中 $(a,w)$ 的联合计数是干预样本。这些计数的插入式互信息，对于 $n$ 个样本，大约向上偏置 $(|\mathcal{A}|-1)(|\mathcal{W}|-1)/(2n)$ 奈特，其中 $\mathcal{W}$ 是可区分的世界结果的集合。减去这一 Miller-Madow 项，并报告一个自助法区间 [315]。在收据规模的计数下，这一校正是不够的。Nemenman、Shafee 和 Bialek 的贝叶斯估计量 [325] 是为下一次运行所陈述的替代方案，并且收据模式将记录每个数字由哪个估计量产生。在策略于某个情境中是确定性的地方，行动在那里没有被随机化，信息流无法从该次运行中识别。此时收据在其专门的一列中记录容量界，并标明它是一个界，而该情境的 $X$ 作为上界报告。第 8.11 节的运行记入的是容量界 $b=n_{\mathrm{empty}}{\log }_{2}9$。它的 $X$ 和它的 $\iota$ 是实现的耦合与实现的智能的上界。它的 $J^{\ast }$ 排序不使用 $X$，因此依然成立。

为什么采用这一度量：

• 它是干预性的。 Pearl 的 do 演算给出了该算子 [1]。Kenton、Kumar、Farquhar、Richens、MacDermott 和 Everitt 把智能体定义为这样的系统：如果它们的行动以不同方式影响世界，它们就会调整自己的策略；他们从干预数据中发现智能体 [10]。收据在构造上就是干预性的。智能体设定它的行动，结果从世界中读出。
• 观察性度量会失效。 James、Barnett 和 Crutchfield 用例子表明，转移熵并不度量信息流 [11]。Lizier 和 Prokopenko 把信息传递与因果效应区分开来，并把因果效应归于因果信息流 [12]。
• 它有价格。 在干预下，信息流是一个互信息。互信息正是带反馈的第二定律以及测量与擦除界以焦耳定价的那个量 [3, 5]。
• 它不需要因果图。 Janzing、Balduzzi、Grosse-Wentrup 和 Schölkopf 在给定因果图和联合分布的条件下，从公设推导出一种因果影响的度量 [13]。收据携带的是行动与结果，而不是智能体的完整因果图。信息流直接由它们计算。
• 记功归于造成它的行动。 当多个行动触及同一个结果时，记在行动 $k$ 名下的比特遵循 Albantakis、Marshall、Hoel 和 Tononi 针对单次转移给出的实际因果关系的解释 [14]。

定义 2。智能体边界

设物理系统是一个由组件构成的有限集合 $V$，每个组件位于一道计量壁之后。候选智能体是一个子集 $S\subseteq V$，或者它的一个粗粒化，它持有每一次比较 $m_k$ 的记录（条款 3），且 $W^{\prime }$ 位于 $S$ 之外。对于一次已完成的运行，设 $X_S$ 为以 $S$ 为智能体时记入的已确认耦合比特，设 $J_S$ 为在 $S$ 的计量壁处计量的焦耳。

智能体是使 $X_S/J_S$ 最大化的候选者。

$V$ 是有限的，因此候选者有限多个。只要某个候选者满足 $J_S>0$，最大化者就存在。收据指明最大化者，并记录任何并列情况。

行动闭合计量。 条款 4 把一个行动的焦耳记到实施该行动的智能体名下。因此，一个被记入某行动耦合的候选者，要承担实现该行动的每一焦耳：执行该行动的执行器的焦耳，以及传送指令的链路的焦耳。定义 2 中的 $J_S$ 按这一规则解读。Takahashi 和 Hayashi 说明了为什么需要这一规则。在开放边界下，信息增益与边界内耗散相互脱钩，每焦耳比特数可以要多大就有多大 [239]。

引理 1。最大化边界包含执行器

设定。 一个组件 $\alpha \in V$，即执行器，是 $V$ 的其余部分与世界之间的一个割：从 $V\setminus \{\alpha \}$ 的一个组件到 $W^{\prime }$ 的每一条因果路径都经过 $\alpha$ 的输出 $a$。一个满足 $\alpha \notin S$ 的候选者 $S$ 只能通过它发送给 $\alpha$ 的指令 $c$ 作用于 $W^{\prime }$。各计量壁互不相交，如命题 7 中那样，因此 $J_{S\cup \{\alpha \}}=J_S+J_{\alpha }+J_0$，其中链路焦耳 $J_0\ge 0$。

假设。

• (B1) 割。对于不含 $\alpha$ 的候选者，在对 $c$ 的干预下，$c\to a\to W^{\prime }$ 是一条马尔可夫链。
• (B2) 行动闭合计量。一个不含 $\alpha$ 且通过 $\alpha$ 被记入耦合的候选者，被计入 $J_S+J_{\alpha }+J_0$。
• (B3) 候选者之间的并列判给按包含关系较大的一方。

陈述。 对于每一个满足 $\alpha \notin S$ 且计入焦耳为正的候选者 $S$，有 $X_S/(J_S+J_{\alpha }+J_0)\le X_{S\cup \{\alpha \}}/J_{S\cup \{\alpha \}}$。因此定义 2 的某个最大化者包含 $\alpha$，并且在 (B3) 下，被指明的最大化者包含它。只要执行器增加了耦合，即 $X_S<X_{S\cup \{\alpha \}}$，该不等式就是严格的。

证明。

1. 固定一个行动。两个候选者持有相同的比较记录，因为 $S$ 持有每一条记录（定义 2），而 $S\cup \{\alpha \}$ 包含 $S$。因此 $E_k$ 和 $m_k$ 对两者相同。由 (B1) 以及应用于干预联合分布的数据处理不等式，$I(\mathrm{do}(c);W^{\prime })\le I(\mathrm{do}(a);W^{\prime })$。对所有行动求和，$X_S\le X_{S\cup \{\alpha \}}$。
2. 由 (B2) 以及计量壁的组合（命题 7，第 1 部分），计入 $S$ 的焦耳等于 $J_{S\cup \{\alpha \}}$。
3. 把步骤 1 置于步骤 2 的公共分母之上，即得该不等式。当 $X_S<X_{S\cup \{\alpha \}}$ 时它是严格的。
4. $V$ 是有限的，因此存在最大化者 $S^{\ast }$。若 $\alpha \notin S^{\ast }$，步骤 3 使 $S^{\ast }\cup \{\alpha \}$ 也成为最大化者，而 (B3) 指明它。$■$

解读。 没有 (B2)，定义 2 就是退化的。一个持有记录、却把执行器的耗电留在其计量壁之外的小子集，会以更少的焦耳报告相同的耦合比特。行动闭合计量消除了这一点，并且在实践中没有代价，因为在条款 4 下执行器的焦耳本来就在收据上。不在因果路径上的组件仍会被比值剔除：去掉其中一个，$X$ 不变而 $J$ 降低。搜索并不遍历全部 $2^{|V|}$ 个子集。它遍历持有记录并包含执行器的候选者。在一台主机上，这样的候选者很少：处理器、加速器、存储器、执行器。当一个仪表的各个域能把功率归属到这些组件时，一个仪表就足够了（第 8.1 节）。

为什么采用这一边界：

• 用比值，而不只是 $X_S$。 只最大化 $X_S$，不会给那些增加焦耳却不增加已确认比特的组件定价。比值把它们剔除。
• 不是马尔可夫毯。 Aguilera、Millidge、Tschantz 和 Buckley 推导出，即使对于弱耦合的线性随机系统，马尔可夫毯条件也只在很窄的参数范围内成立 [15]。Biehl、Pollock 和 Kanai 用反例证明，现用的各种马尔可夫毯定义并不等价 [16]。Bruineberg、Dołęga、Dewhurst 和 Baltieri 把作为推理工具的毯与作为物理边界的毯区分开来 [17]。
• 没有观察者。 Orseau、McGregor McGill 和 Legg 通过对同一行为的两种描述进行贝叶斯比较来定义智能体与装置，因此这一标签取决于观察者的先验 [18]。$X_S$ 和 $J_S$ 是从收据和仪表上读出的。
• 由一种度量找到的边界。 IIT 4.0（整合信息理论）把系统取为具有最大整合因果效应力的元素集合 [19]。Krakauer、Bertschinger、Olbrich、Flack 和 Ay 把个体识别为将信息从其过去传播到其未来的聚合体 [20]。定义 2 保留这种形式，并使用该定义自身的通货：每焦耳的已确认耦合比特。
• 粗粒化也算数。 Hoel、Albantakis 和 Tononi 表明，宏观描述可以比微观描述携带更多的因果力 [21]。
• 工具会移动边界。 当一个人使用工具时，候选者包括单独的人、单独的工具，以及两者组成的一对。定义 2 把耦合记到使 $X_S/J_S$ 最大化的那个候选者名下，并把该行动的每一焦耳计入它。Krakauer 把人、工具与任务建模为一个动力系统，其中保留的能力与依赖共同演化。当工具的可得性超过一个临界值时，能力坍缩到一个依赖性的下限；而在目标不确定时，能动性本身可能转移到工具上 [340]。在该模型中，一个用户能够重构其工作原理的工具，例如算盘，在工具被移走之后会把能力留在人身上，而卫星导航则位于能力随使用而衰减的区域 [340]。定义 2 的比值使这种转移变得可测量：在没有工具的情况下测试这个人，剩下的已确认比特就是这个人所持有的比特。
• 每一个候选者都有一个界面。 Rosas、Mediano、Biehl、Chandaria 和 Polani 证明，每一个二分随机过程都有一个因果毯，并给出了一个无需稳态或马尔可夫假设、从数据中找到它的算法 [22]。

2.2 第 2 层。运动学

累积焦耳为 $J(t)={\int }_0^{t}P(t^{\prime })d{t}^{\prime }$，其中 $P$ 是计量功率。

能动性位移计算已确认、已耦合的变化的比特数：

$$X(t)=\sum _{k:t_k\le t}{E}_k{m}_{k}I(\mathrm{do}(a_k);W_k^{\prime })$$

对每个行动而言，$I(\mathrm{do}(a_k);W_k^{\prime })$ 是选择 $a_k$ 的策略所实现的信息流，在该次运行中同一情境下的各个行动上估计（定义 1）。

每秒速度为 $v_t=dX/dt$。每焦耳速度为 $v_J=dX/dJ$。每焦耳加速度为 ${\alpha }_J=d^{2}X/d{J}^2$。预算为 $J(T)\le B$。

运动学界限就是对这些量的限制。

K1。Landauer 下限，闭合循环。 每一个已确认的比特都被记录，之后又被擦除以重置接受器。因此

$$v_J\le \frac{1}{k_{B}T\ln 2}.$$

在 $T=300$ K 时，由 SI 常数计算得 $k_{B}T\ln 2\approx 2.87\times 10^{-21}$ J。这大约是每焦耳 $3.5\times 10^{20}$ 比特。命题 1 在关于记录的陈述假设下，针对每个行动的平均焦耳，逐个行动地证明了 K1。

K2。经典速度极限。 Shiraishi、Funo 和 Saito 针对满足局部细致平衡的马尔可夫跳跃过程证明了这个界 [23]：

$$\tau \ge \frac{L(p(0),p(\tau ){)}^2}{2{\Sigma }_{\mathrm{tot}}⟨A{⟩}_{\tau }}$$

• $L(p,p^{\prime })={\sum }_i|p_i-p_i^{\prime }|$ 是两个概率分布之间完整的 $L_1$ 距离。没有 1/2 的因子。使用总变差距离 $d_{TV}=L/2$ 时，同一个界写作 $\tau \ge 2d_{TV}^2/({\Sigma }_{\mathrm{tot}}⟨A{⟩}_{\tau })$。
• ${\Sigma }_{\mathrm{tot}}={\int }_0^{\tau }\dot{\Sigma }dt$ 是总熵产生，即系统加上热浴，以 $k_B$ 为单位。
• $A(t)={\sum }_{i\ne j}{W}_{ij}(t)p_j(t)$ 是动力学活性，其中 $W_{ij}$ 是从状态 $j$ 到状态 $i$ 的跳跃速率。$⟨A{⟩}_{\tau }=\frac{1}{\tau }{\int }_0^{\tau }A(t)dt$ 是它的时间平均。

整理后，${\Sigma }_{\mathrm{tot}}\ge L^2/(2\tau ⟨A{⟩}_{\tau })$。以很少的跳跃把一个分布快速地移动很远，要付出熵的代价。

焦耳形式。 对于单一热浴，$k_{B}T{\Sigma }_{\mathrm{tot}}=W-\Delta F_{\mathrm{neq}}$，其中 $F_{\mathrm{neq}}$ 是非平衡自由能 [24]。因此耗散功满足

$$W_{\mathrm{diss}}\ge \frac{k_{B}T{L}^2}{2\tau ⟨A{⟩}_{\tau }}.$$

稳态流。 同一篇论文给出 $\tau \ge c^{\ast }{L}^2/(2{\Sigma }_{HS}⟨A{⟩}_{\tau })$，其中 $c^{\ast }=0.896\dots$，${\Sigma }_{HS}$ 是 Hatano-Sasa 熵产生，即过剩熵产生 [23]。

K3。精度要付出耗散的代价。 行动是受驱动的而非稳态的，因此适用的形式是 Koyuk 和 Seifert 针对含时驱动的不确定性关系 [323]；此处陈述稳态形式仅供参考。对于稳态中的时间反对称流 $Y$，$\mathrm{Var}(Y)/⟨Y{⟩}^2\ge 2/{\Sigma }_{\mathrm{tot}}$ [25, 26]。智能体使用反馈，而反馈在实验中突破了这个界 [27]。适用于智能体的界是反馈形式，其中互信息进入界中 [28]。命题 3 针对已确认的能动性陈述了它。

K4。有限时间代价。 在有限时间 $\tau$ 内擦除一个比特，代价高于 $k_{B}T\ln 2$。超出部分随 $\tau$ 缩短而增大 [29]。在平衡附近，沿一个协议的超额功以热力学长度的平方除以持续时间为下界 [30]。命题 1 给出整个行动的下限。

K5。速率的量子上限。 一个在基态之上平均能量为 $⟨E⟩$ 的系统，每秒至多进行 $2⟨E⟩/(\pi \hslash )$ 次正交跃迁 [31]。由常数计算，这大约是每焦耳每秒 $6.04\times 10^{33}$ 次跃迁。有时被引用的约 $3\times 10^{33}$ 这一数字是 $2E/h$，即 Margolus-Levitin 速率的一半，因为 $2E/(\pi \hslash )=4E/h$。

命题 1。有限时间内一个行动的焦耳下限

设定。 行动 $k$ 把它的比较写入一个具有 $N$ 个状态的记录 $M_k$，然后重置该记录。该记录是一个满足局部细致平衡的马尔可夫跳跃过程，与温度为 $T$ 的单一热浴接触。在写入期间，被比较的结果 $R_k$ 保持固定，记录的跳跃速率可以依赖于它。在重置期间，记录的速率不依赖于其他任何东西，因此记录独自演化。重置持续 ${\tau }_k$。$⟨A{⟩}_k$ 是重置期间记录的时间平均动力学活性。焦耳与功都是在行动 $k$ 的系综上的平均值。

假设。

• (R1) 记录的各个状态能量相等。在写入的开始和结束时，记录与 $R_k$ 之间没有相互作用能。在行动开始时，记录处于其就绪分布 $q^0$，与 $R_k$ 独立。
• (R2) 记入的比特不超过写入留在记录中的信息：在写入结束时，$b_k\le I(M_k;R_k)$，以比特计。记录在写入与重置之间保持不变。
• (R3) 重置使记录回到 $q^0$。重置误差为 $\epsilon =1-{\max }_s{q}_s^0$。
• (R4) 写入与重置的功都经过仪表：$J_k\ge W_k^{\mathrm{write}}+W_k^{\mathrm{reset}}$。

陈述。

$$J_k\ge b_k{k}_{B}T\ln 2+\frac{2k_{B}T\left[\right({\varphi }_N^{-1}(b_k)-\epsilon {)}_{+}{]}^2}{{\tau }_k⟨A{⟩}_k}$$

这里 $(x{)}_{+}=\max (x,0)$，$h_2(x)=-x{\log }_{2}x-(1-x){\log }_2(1-x)$ 是二元熵，${\varphi }_N(x)=h_2(x)+x{\log }_2(N-1)$。在 $[0,1-1/N]$ 上，${\varphi }_N$ 从 0 增加到 ${\log }_{2}N$，因此它的反函数在 $[0,{\log }_{2}N]$ 上有定义。对于一个确认一个比特的一比特记录，${\varphi }_2^{-1}(1)=1/2$，并且

$$J_k\ge k_{B}T\ln 2+\frac{2k_{B}T[(1/2-\epsilon {)}_{+}{]}^2}{{\tau }_k⟨A{⟩}_k}$$

当 $\epsilon \to 0$ 时，它趋于 $k_{B}T\ln 2+k_{B}T/(2{\tau }_k⟨A{⟩}_k)$。

证明。

1. 对于满足局部细致平衡的等温马尔可夫跳跃过程，$W=\Delta F_{\mathrm{neq}}+k_{B}T{\Sigma }_{\mathrm{tot}}$，且 ${\Sigma }_{\mathrm{tot}}\ge 0$。这里 $F_{\mathrm{neq}}=⟨E⟩-k_{B}TS$，其中 $S$ 是以奈特计的 Shannon 熵 [24]。
2. 写入。把步骤 1 应用于 $R_k$ 固定时的对 $(M_k,R_k)$。由 (R1)，平均能量不变，并且这一对在开始时相互独立。$R_k$ 的熵不变。因此联合熵的变化为 $H(q^{\prime })-I-H(q^0)$，其中 $q^{\prime }$ 是写入后记录的分布，$I=I(M_k;R_k)$，全部以奈特计。因此 $W_k^{\mathrm{write}}\ge k_{B}T[I-H(q^{\prime })+H(q^0)]$。
3. 重置。记录独自演化，因此步骤 1 适用于记录。它的能量不变。由 (R2) 和 (R3)，它的熵从 $H(q^{\prime })$ 变为 $H(q^0)$。因此 $W_k^{\mathrm{reset}}=k_{B}T[H(q^{\prime })-H(q^0)]+k_{B}T{\Sigma }^{\mathrm{reset}}$。
4. 步骤 2 和 3 以及 (R4) 给出 $J_k\ge k_{B}TI+k_{B}T{\Sigma }^{\mathrm{reset}}$。记录的熵在循环上相互抵消。以比特计，由 (R2)，$k_{B}TI=k_{B}T\ln 2I(M_k;R_k)\ge b_k{k}_{B}T\ln 2$。这就是 Sagawa 和 Ueda 的测量与擦除界 [5]，在这里适用于任意就绪分布。
5. 经典速度极限给出 ${\Sigma }^{\mathrm{reset}}\ge L^2/(2{\tau }_k⟨A{⟩}_k)$，其中 $L={\sum }_s|q_s^{\prime }-q_s^0|$ [23]。取满足 $q_s^0=\max q^0=1-\epsilon$ 的 $s$。其余状态总共承担相反的变化，因此 $L\ge 2(q_s^0-q_s^{\prime })\ge 2[(1-q_{\max }^{\prime })-\epsilon ]$。
6. Fano 不等式在没有边信息、以最可能状态作为猜测时给出 $H(q^{\prime })\le h_2(1-q_{\max }^{\prime })+(1-q_{\max }^{\prime }){\log }_2(N-1)={\varphi }_N(1-q_{\max }^{\prime })$，以比特计。由于 $1-q_{\max }^{\prime }\le 1-1/N$，且 ${\varphi }_N$ 在该处递增，所以 $1-q_{\max }^{\prime }\ge {\varphi }_N^{-1}(H(q^{\prime }))$。由 (R2)，$H(q^{\prime })\ge I(M_k;R_k)\ge b_k$，而 ${\varphi }_N^{-1}$ 递增。因此 $L\ge 2({\varphi }_N^{-1}(b_k)-\epsilon {)}_{+}$。
7. 步骤 4 至 6 给出该陈述。$■$

解读。 这一下限是两种价格之和。信息价格是每个已确认比特 $k_{B}T\ln 2$，在闭合循环上支付，与就绪状态无关。速度价格属于重置。速率有限的重置永远不会在有限时间内到达单一状态，因此在每一个有限的 ${\tau }_k$ 下都有 $\epsilon >0$，而速度价格带有这一误差。K1 在每一个 ${\tau }_k$ 下逐个行动地成立。针对特定动力学的更紧的擦除界，也是同一重置的下界（第 4.1 节）。对每个行动而言，每焦耳速度为

$$v_{J,k}=\frac{b_k}{J_k}\le \frac{b_k}{b_k{k}_{B}T\ln 2+2k_{B}T\left[\right({\varphi }_N^{-1}(b_k)-\epsilon {)}_{+}{]}^2/({\tau }_k⟨A{⟩}_k)}\le \frac{1}{k_{B}T\ln 2}$$

只要在有限的 ${\tau }_k⟨A{⟩}_k$ 下有 ${\varphi }_N^{-1}(b_k)>\epsilon$，最后一个不等式就是严格的。

命题 2。保持一个目标的持续焦耳

设定。 世界是一个线性受控对象 $x_{t+1}=A{x}_t+B{u}_t+w_t$，其中 $x_t\in {\mathbb{R}}^n$。在第 $t$ 步，智能体写下受控对象的一个有限取值记录 $c_t$。它的记忆 $s_t$ 是 $(s_{t-1},c_t)$ 的一个有限取值函数，$s_0$ 固定，它的行动 $u_t$ 是 $s_t$ 的函数。保留每一条记录，即 $s_t=(s_{t-1},c_t)$，是这样的一种记忆。目标是稳住受控对象：${\sup }_t\mathbb{E}\Vert x_t{\Vert }^2<\infty$。

假设。

• (C1) 噪声 $w_t$ 与 $(x_t,s_t)$ 独立。
• (C2) $x_0$ 具有一个密度，其微分熵有限且二阶矩有限。
• (C3) 每步的闭合循环核算。$J_t$ 是归属于记录 $c_t$ 的平均焦耳：包括它的写入及其后来的擦除，无论它们何时支付。$J_t\ge k_{B}TI(x_t;c_t\mid s_{t-1})$，信息以奈特计。这就是命题 1 的步骤 1 至 4，在记忆 $s_{t-1}$ 的每一个取值下，使用一个处于就绪状态的新记录，并在写入期间保持 $x_t$ 固定 [5]。有界大小的记忆会在有界步数内擦除每一条记录，因此归属的焦耳在相差一个边界项的意义下落在运行之内。

陈述。 这是 Tatikonda 和 Mitter [169] 以及 Nair 和 Evans [170] 的数据率定理的一个以焦耳定价的推论。Touchette 和 Lloyd 的闭环不等式 [32, 33] 把速率传递到记录上，而 Landauer 的擦除价格 [6] 把每一比特换算为 $k_{B}T\ln 2$ 焦耳。它只在这种组合的意义上是新的。设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的特征值。则

$$\underset{N\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{1}{N}\sum _{t=1}^N{J}_t\ge k_{B}T\ln 2\sum _{i:|{\lambda }_i|>1}{\log }_2|{\lambda }_i|$$

证明。

1. 选取实坐标，使得 $A=\mathrm{diag}(A_u,A_s)$，其中 $A_u$ 恰好携带模大于 1 的特征值。设 $y_t$ 为 $x_t$ 的不稳定块。则 $y_{t+1}=A_u{y}_t+v_t+e_t$，其中 $v_t$ 是 $s_t$ 的函数，且由 (C1)，$e_t$ 与 $(y_t,s_t)$ 独立。线性坐标变换使微分熵平移一个常数，因此有限性不变。
2. 设 $D_t=h(y_t\mid s_t)$，这是一个以奈特计的条件微分熵。加入独立噪声不会降低条件熵。平移 $s_t$ 的一个函数不会改变它。线性映射 $A_u$ 增加 $\ln |\det A_u|$。因此 $h(y_{t+1}\mid s_t)\ge D_t+\ln |\det A_u|$。
3. $s_{t+1}$ 是 $(s_t,c_{t+1})$ 的函数，而以更少的变量为条件从不会降低熵。因此 $D_{t+1}\ge h(y_{t+1}\mid s_t,c_{t+1})=h(y_{t+1}\mid s_t)-I(y_{t+1};c_{t+1}\mid s_t)$。由于 $y$ 是 $x$ 的函数，$I(y_{t+1};c_{t+1}\mid s_t)\le I(x_{t+1};c_{t+1}\mid s_t)$。这就是 Touchette 和 Lloyd 的闭环不等式 [32, 33]。
4. 步骤 2 和 3 给出 $I(x_{t+1};c_{t+1}\mid s_t)\ge \ln |\det A_u|-(D_{t+1}-D_t)$。对 $N$ 步求和，${\sum }_{t=1}^{N}I(x_t;c_t\mid s_{t-1})\ge N\ln |\det A_u|-(D_N-D_0)$。
5. 每条记录都是有限取值的，因此每个信息项都是有限的。$D_0=h(y_0)$ 是有限的：由 (C2)，二阶矩从上方界定它，而 $h(x_0)\le h(y_0)+h(x_0^{\mathrm{s}})$（其中 $x_0^{\mathrm{s}}$ 是稳定块）从下方界定它。$D_N\le h(y_N)$，而在给定协方差下高斯分布的熵最大，因此有界的二阶矩从上方界定 $D_N$。除以 $N$，在极限下每步的平均信息至少为 $\ln |\det A_u|={\sum }_{|{\lambda }_i|>1}\ln |{\lambda }_i|$。
6. (C3) 把每奈特定价为 $k_{B}T$，即每比特 $k_{B}T\ln 2$。$■$

解读。 一个在不稳定世界中保持目标的智能体，在每秒 $f$ 个控制步下，至少付出 $f{k}_{B}T\ln 2{\sum }_{|{\lambda }_i|>1}{\log }_2|{\lambda }_i|$ 的持续功率。一个 $|\lambda |=2$ 的不稳定模态每步需要一个比特，在 300 K 下即每步 $k_{B}T\ln 2\approx 2.87\times 10^{-21}$ J。记录每步的比特数从上方界定其信息，因此该证明也给出了数据率定理的一个非严格的平均形式（第 4.1 节）。这一组合很简短。它是 Tatikonda 和 Mitter 以及 Nair 和 Evans 的数据率定理 [169, 170]，通过 Touchette 和 Lloyd [32, 33] 以每比特 $k_{B}T\ln 2$ 定价。它所增加的是以焦耳计的价格，这正是预测 1 所需要的下限。

命题 3。已确认能动性的精度

设定。 智能体、它的世界和它的反馈构成一个在有限多个状态上的时间齐次、不可约的马尔可夫跳跃过程，并处于其平稳状态。每一个已确认的行动是一次带标记类型的跳跃。$N(t)$ 计数 $[0,t]$ 中的已确认行动。$⟨K⟩$ 是 $[0,t]$ 中所有类型跳跃的平均次数，$⟨k⟩=⟨K⟩/t$ 是平均跳跃速率。

陈述。

1. 在长时间极限下，$\mathrm{Var}(N)/⟨N{⟩}^2\ge 1/⟨K⟩$。如果每一个已确认的行动都记入相同的 $b$ 比特，则 $X=bN$，同一个界对 $X$ 也成立。
2. 设 $T_n$ 为第 $n$ 个已确认行动结束的时刻。对于大的 $n$，$\mathrm{Var}(T_n)/⟨T_n{⟩}^2\ge 1/(⟨T_n⟩⟨k⟩)$。
3. 改设 $X$ 在映射到一个包含信息项的涨落关系 $P_B(-X,-{\sigma }_I)/P(X,{\sigma }_I)=e^{-{\sigma }_I}$ 的反向实验时为奇。则

$$\frac{\mathrm{Var}(X)+{\mathrm{Var}}_B(X)}{(⟨X⟩+⟨X{⟩}_B{)}^2}\ge \frac{1}{\exp [(⟨{\sigma }_I⟩+⟨{\sigma }_I{⟩}_B)/2]-1}$$

当反向实验等于正向实验时，这写作 $\mathrm{Var}(X)/⟨X{⟩}^2\ge 2/(e^{⟨{\sigma }_I⟩}-1)$。

证明。 $N$ 是一个计数可观测量：它计数跳跃的一个子集，并且从不减少。Garrahan 针对平稳马尔可夫跳跃过程中的计数可观测量证明了第 1 部分和第 2 部分 [34]。第 1 部分是他用平均活性给出的计数可观测量方差界。第 2 部分是他的首达界，针对跳跃权重为 0 或 1 的计数陈述，在这里成立，因为 $N$ 只计数一种带标记类型的跳跃。乘以 $b$ 不改变相对方差。第 3 部分是 Potts 和 Samuelsson 从任意涨落关系（包括测量与反馈）推导出的不确定性关系 [28]，以 $X$ 作为可观测量来应用。$■$

解读。 第 1 部分不需要时间反演性质，也不需要反馈的模型。已确认能动性的精度是用活性换来的。第 3 部分是耗散的价格，它在反馈下成立，因为它建立在反馈涨落关系之上。标准 TUR 在实验中约束不了反馈引擎 [27]。这就是智能体形式带有信息项的原因。

命题 4。量子智能体仍受该下限约束

设定。 比较结果 $m_k$ 来自一次量子测量，并被写入一个经典寄存器，即条款 3 的记录。该寄存器的重置满足命题 1 的设定以及 (R2) 和 (R3)，其中 $I(M_k;R_k)$ 是该测量的量子经典互信息。重置的功经过仪表：$J_k\ge W_k^{\mathrm{reset}}$。

陈述。

$$J_k\ge k_{B}T\ln 2[b_k-{\varphi }_N(\epsilon )]+\frac{2k_{B}T\left[\right({\varphi }_N^{-1}(b_k)-\epsilon {)}_{+}{]}^2}{{\tau }_k⟨A{⟩}_k}$$

当 $\epsilon \to 0$ 时，这就是命题 1 的下限。当写入也被计量时，在 Sagawa 和 Ueda 针对量子测量所陈述的附加假设下，他们的测量与擦除界在每一个 $\epsilon$ 下都给出 $J_k\ge b_k{k}_{B}T\ln 2$ [5]。

证明。 命题 1 的步骤 3 只用到寄存器及其重置动力学。它给出 $W_k^{\mathrm{reset}}=k_{B}T\ln 2[H(q^{\prime })-H(q^0)]+k_{B}T{\Sigma }^{\mathrm{reset}}$，熵以比特计。量子经典互信息至多等于结果的熵 [5]，因此 $H(q^{\prime })\ge b_k$。由于 $\epsilon \le 1-1/N$，Fano 不等式给出 $H(q^0)\le {\varphi }_N(\epsilon )$。命题 1 的步骤 5 和 6 界定 ${\Sigma }^{\mathrm{reset}}$。$■$

解读。 量子资源改变的是智能体每个行动能做什么。它们不会降低其记录的价格。记录每比特花费 $k_{B}T\ln 2$，减去一个随重置变得精确而消失的余项 ${\varphi }_N(\epsilon )$。写入记录的测量有它自己的价格，在第 4.1 节中给出。

2.3 第 3 层。微积分：作为导数、事后读出的智能

一次运行产生一张收据：计量焦耳与已确认位移的有序记录 $\{(J_k,X_k){\}}_{k=0}^n$。每个 $m_k$ 只有在行动 $k$ 结束之后才可知。因此路径 $X(J)$ 只有在运行完成之后才存在。

• 智能，边际值： $\iota (J)=\frac{dX}{dJ}$，从收据中估计为 ${\iota }_k=\Delta X_k/\Delta J_k$。
• 运行积分： $X(B)={\int }_0^B\iota (J)dJ$。
• 满足一项要求所需的焦耳： $J^{\ast }(X_{\mathrm{req}})={\int }_0^{X_{\mathrm{req}}}\frac{dX}{\iota }$。
• 最优： ${\pi }^{\ast }=\arg {\min }_{\pi }{J}_{\pi }$，约束条件为 $X_{\pi }\ge X_{\mathrm{req}}$、对每个 $k$ 都有 $E_k=1$，以及 $J_{\pi }\le B$。如果没有可行的策略，就拒绝，并附带收据。
• 排序： $S_1{\succ }_q{S}_2⟺J_{S_1}^{\ast }(q)<J_{S_2}^{\ast }(q)$。

$X_{\mathrm{req}}$ 由任务的完成性谓词 $C(z)$ 设定。它是门槛，不是得分。参数、词元和基准只通过 $J^{\ast }$ 进入。所有其他因素都坍缩为零。

这里的“事后”是字面意义上的。速度是从一条已记录的路径上读出的。智能是从一次已记录的运行中读出的。收据就是路径。

命题 5。智能作为焦耳轴上的有界密度而存在

设定。 区间 $[0,T]$ 上的一次运行具有计量功率 $P(t)\ge 0$（可积），以及焦耳测度 $dJ=Pdt$。行动 $k$ 占据 $[s_k,e_k]$，并计入 $b_k=E_k{m}_{k}I(\mathrm{do}(a_k);W_k^{\prime })\ge 0$ 比特。各行动可以重叠。每个行动有一个归属功率 $P_k\ge 0$，在 $[s_k,e_k]$ 之外为零，且 ${\sum }_k{P}_k\le P$。其焦耳数为 $J_k=\int P_{k}dt>0$。对于互不重叠的行动，在该行动的区间上 $P_k=P$。

计入规则。 每个行动的比特分摊到它自身的焦耳上：

$$dX=\sum _k\frac{b_k}{J_k}{P}_{k}dt$$

假设（逐行动 K1）。 对每个 $k$，$b_k{k}_{B}T\ln 2\le J_k$。命题 1 在 (R1) 至 (R4) 之下对每个行动的平均焦耳数给出了这一点，因此该陈述对平均运行成立。在单次运行上，只要每个行动消耗的能量超过 $b_k{k}_{B}T\ln 2$，它就成立。第 8.11 节那次运行中的每个已确认行动所消耗的能量都超过该值的 $3\times 10^{14}$ 倍。

陈述。

1. 对每个可测的时间集合 $A\subseteq [0,T]$，有 $0\le X(A)\le J(A)/(k_{B}T\ln 2)$。因此 $dX$ 关于 $dJ$ 绝对连续。
2. Radon-Nikodym 导数 $\iota =dX/dJ$ 存在，在零焦耳集合之外唯一，并满足

$$0\le \iota \le \frac{1}{k_{B}T\ln 2}$$

在 $P>0$ 处，$\iota ={\sum }_k(b_k/J_k)(P_k/P)$。对于互不重叠的行动，在行动 $k$ 上 $\iota =b_k/J_k$，这正是收据上的 ${\iota }_k$。

3. 已确认的能动性是累计焦耳数的函数：$X(t)=g(J(t))$，其中 $g$ 非递减，且以 $1/(k_{B}T\ln 2)$ 为常数满足 Lipschitz 条件。因此 $g$ 在几乎每个焦耳处可微，并且对几乎每个焦耳有 $g^{\prime }(J(t))=\iota (t)$。
4. 如果改为在每个行动结束的瞬间计入其比特，那么只要某个 $b_k>0$，$dX={\sum }_k{b}_k{\delta }_{e_k}$ 就关于 $dJ$ 奇异。此时 $g$ 是阶跃函数，在几乎每个焦耳处 $g^{\prime }=0$，全部能动性都落在一个零焦耳集合上。

证明。

1. 由逐行动 K1，再由 ${\sum }_k{P}_k\le P$，得 $X(A)={\sum }_k(b_k/J_k){\int }_A{P}_{k}dt\le \frac{1}{k_{B}T\ln 2}{\int }_A{\sum }_k{P}_{k}dt\le \frac{J(A)}{k_{B}T\ln 2}$。若 $J(A)=0$，则 $X(A)=0$。
2. 两个测度都是有限的，因此 Radon-Nikodym 定理给出 $\iota$。若在某个满足 $J(B)>0$ 的集合 $B$ 上 $\iota >1/(k_{B}T\ln 2)$，则 $X(B)>J(B)/(k_{B}T\ln 2)$，与第 1 步矛盾。在 $\{P>0\}$ 上，$dX={\sum }_k(b_k/J_k)(P_k/P)dJ$，并且在 $P=0$ 处 $P_k=0$。这就给出了显式形式。
3. 若 $J(t_1)=J(t_2)$ 且 $t_1<t_2$，第 1 步给出 $X((t_1,t_2])=0$，因此 $g$ 是良定义的。对 $t_1<t_2$，有 $g(J(t_2))-g(J(t_1))=X((t_1,t_2])\le (J(t_2)-J(t_1))/(k_{B}T\ln 2)$。$J$ 是连续的，因此 $g$ 在 $[0,J(T)]$ 上满足 Lipschitz 条件。Lipschitz 函数绝对连续并且几乎处处可微。变量替换给出 ${\int }_0^t{g}^{\prime }(J(s))dJ(s)=g(J(t))=X([0,t])$。因此 $g^{\prime }\circ J$ 也是 $X$ 关于 $J$ 的一个密度，由唯一性，它等于 $\iota$。
4. $X(\{e_k\})=b_k>0$，而 $J(\{e_k\})=0$，因为 $J$ 是连续的。因此 $dX$ 不是绝对连续的。它落在有限多个零焦耳的点上，因此是奇异的。在有限多个跳跃之间保持常数的函数几乎处处导数为零。$■$

解读。 一旦每个行动的比特分摊到该行动所用的焦耳上，事后智能就是焦耳轴上一个良定义的密度。正是计入规则使 $dX/dJ$ 存在。点计入把全部能动性放在一个零焦耳集合上。任何从不分配超过仪表读数的焦耳的归属方式，都能处理重叠的行动。每个 $b_k$ 只有在行动 $k$ 结束之后才可知，因此 $\iota$ 是从已完成的运行中读出的。

命题 5 按构造成立。计入规则使 $X$ 关于 $J$ 绝对连续，因此密度按定义存在。它的内容在于规则的选择：第 4 部分表明，另一种自然的规则，即点计入，根本不留下任何密度。

命题 6。采样智能收敛

设定。 仪表在累计焦耳数 $0=j_0<j_1<\cdots <j_M=J(T)$ 处读数，网格宽度为 $\Delta ={\max }_i(j_{i+1}-j_i)$。在 $[j_i,j_{i+1})$ 上，采样智能为

$$\hat{\iota }=\frac{g(j_{i+1})-g(j_i)}{j_{i+1}-j_i}$$

时间采样细化焦耳采样，因为 $J$ 是连续的。

陈述。 在命题 5 的设定下，当 $\Delta \to 0$ 时，在几乎每个焦耳 $j$ 处 $\hat{\iota }(j)\to g^{\prime }(j)$，并且在每个网格下都有 $0\le \hat{\iota }\le 1/(k_{B}T\ln 2)$。如果仪表对每个采样区间的读数的相对误差至多为 $ϵ<1$，则所报告的比值位于 $[\hat{\iota }/(1+ϵ),\hat{\iota }/(1-ϵ)]$ 之中。

证明。 $\hat{\iota }(j)$ 是 $g^{\prime }$ 在一个长度为 $h\le \Delta$ 的采样区间 $I\ni j$ 上的平均值。由于 $I\subseteq [j-h,j+h]$，

$$|\hat{\iota }(j)-g^{\prime }(j)|\le \frac{1}{h}{\int }_{j-h}^{j+h}|g^{\prime }(u)-g^{\prime }(j)|du$$

右边在 $g^{\prime }$ 的每个 Lebesgue 点处趋于 0，而由 Lebesgue 微分定理，几乎每个 $j$ 都是 Lebesgue 点。$\hat{\iota }$ 的界就是 $g$ 的单调性与 Lipschitz 常数。读数 $\Delta \hat{J}\in [(1-ϵ)\Delta J,(1+ϵ)\Delta J]$ 去除的是同一个 $\Delta X$。$■$

命题 7。焦耳与耦合比特的组合

设定。 一个由成员 $i=1,\dots ,n$ 组成的群体 $G$ 作用于同一个世界 $W^{\prime }$。每个成员位于它自己的计量壁之后。这些壁互不相交并位于群体的壁之内，每个成员都从群体之外获取能量。成员按相互独立的策略选择行动 $a_1,\dots ,a_n$。成员 $i$ 的耦合是在其他成员按各自策略行动的情况下计算的。

陈述。

1. $J_G={\sum }_i{J}_i+J_0$，其中 $J_0\ge 0$ 是进入群体的壁但不进入任何成员的壁的能量。
2. $I(\mathrm{do}(a_1,\dots ,a_n);W^{\prime })\ge {\sum }_{i}I(\mathrm{do}(a_i);W^{\prime })$，当且仅当对每个 $i$，在给定 $W^{\prime }$ 的条件下 $a_i$ 独立于 $(a_1,\dots ,a_{i-1})$ 时等号成立。
3. 即使每个成员单独都不耦合，该不等式也可以是严格的。取 $a_1,a_2$ 为相互独立的均匀比特，且 $W^{\prime }=a_1\oplus a_2$，则每个成员的耦合为 0 比特，而群体的耦合为 1 比特。
4. 在群体的壁处满足逐行动 K1 时，命题 5 适用于 $G$：${\iota }_G$ 存在，且 $0\le {\iota }_G\le 1/(k_{B}T\ln 2)$。由定义 2，当 $X_G/J_G$ 超过包括每个成员在内的所有其他候选者的 $X_S/J_S$ 时，$G$ 就是该智能体。

证明。

1. 进入某个成员的壁的每一焦耳都先进入群体的壁，而计量能量在互不相交的壁上相加。
2. 在干预之下，各行动服从乘积分布 ${\prod }_{i}p(a_i)$，而每个耦合都是干预联合分布的互信息（定义 1）。对其他行动求边缘，成员 $i$ 的耦合就是该联合分布中的 $I(a_i;W^{\prime })$。由链式法则，$I(a_{1:n};W^{\prime })={\sum }_{i}I(a_i;W^{\prime }\mid a_{<i})$。独立性给出 $I(a_i;a_{<i})=0$，因此 $I(a_i;W^{\prime }\mid a_{<i})=I(a_i;W^{\prime },a_{<i})=I(a_i;W^{\prime })+I(a_i;a_{<i}\mid W^{\prime })\ge I(a_i;W^{\prime })$。当且仅当对每个 $i$ 都有 $I(a_i;a_{<i}\mid W^{\prime })=0$ 时，每一项都取等号。
3. 仅给定 $a_1$ 时，$W^{\prime }$ 仍是一个均匀比特，因此 $I(a_1;W^{\prime })=0$，对 $a_2$ 同理。给定两个行动时，$W^{\prime }$ 是确定的，因此 $I(a_1,a_2;W^{\prime })=H(W^{\prime })=1$ 比特。
4. 命题 5 只需要运行、仪表和逐行动 K1。在群体的壁处应用它即可。$■$

解读。 焦耳相加，群体内部的连接另计在上。来自相互独立成员的耦合比特至少相加，而且有些耦合比特只存在于群体层面。当一个群体获得的耦合比特多于其成员单独所持有的，或者共同行动所花的焦耳少于其成员分开行动所花的焦耳时，该群体就提高了 ${\iota }_G$。第 4.1 节给出为这两项定价的定理。

预测 1。保持目标的智能体的最优行动时间

设定。 一个闭循环接受器一个接一个地执行行动。每个行动写入一条具有 $N$ 个状态的记录，并在得到确认时计入 $b$ 比特。在重置之前进行的比较以概率 $p$ 给出确认。每次重置都满足命题 1，持续时间为 $\tau$，平均活动度为 $⟨A⟩$，重置误差为 $\epsilon$。在整个过程中，智能体通过一个独立的寄存器，针对一个不稳定率为 $\Lambda$ 的世界保持一个目标。每一焦耳都在智能体的壁处计量（定义 2）。

推导。 每个行动至少持续 $\tau$。命题 2 把保持的价格定为长期内每秒 $k_{B}T\Lambda$。命题 1 为行动定价。两个寄存器是不同的，因此它们的计量焦耳数相加。平均而言，每个行动有

$$J(\tau )\ge b{k}_{B}T\ln 2+\frac{\kappa }{\tau }+k_{B}T\Lambda \tau ,\kappa =\frac{2k_{B}T\left[\right({\varphi }_N^{-1}(b)-\epsilon {)}_{+}{]}^2}{⟨A⟩}$$

由命题 5，运行的智能是每焦耳的已确认比特数，$\iota (\tau )=pb/J(\tau )$。$J$ 的界的右边在 ${\tau }^{\ast }=\sqrt{\kappa /(k_{B}T\Lambda )}$ 处取最小值，此时它等于 $b{k}_{B}T\ln 2+2\sqrt{\kappa k_{B}T\Lambda }$。对于一比特记录和精确重置，这给出两个数：

$${\tau }^{\ast }=\frac{1}{\sqrt{2⟨A⟩\Lambda }},\iota (\tau )\le \frac{p}{k_{B}T[\ln 2+\sqrt{2\Lambda /⟨A⟩}]}$$

预测 1。

1. 上限。 对于一比特行动，任何在行动时以不稳定率 $\Lambda$ 保持目标的接受器，在任何行动时间下都无法使 $\iota$ 超过 $p/(k_{B}T[\ln 2+\sqrt{2\Lambda /⟨A⟩}])$。一般的上限是 $pb/(b{k}_{B}T\ln 2+2\sqrt{\kappa k_{B}T\Lambda })$。它只取决于 $T$、$p$、$b$、$N$、$\epsilon$ 以及比值 $\Lambda /⟨A⟩$。
2. 最优行动时间。 设某个接受器实测的每行动焦耳数服从 $J(\tau )=J_0+a/\tau +s\tau$。在不保持目标的情况下通过扫描 $\tau$ 测量 $a$ 和 $J_0$，并在保持目标但不执行行动的情况下测量持续功率 $s$。那么实测的 $\iota (\tau )$ 在 ${\tau }^{\ast }=\sqrt{a/s}$ 处达到峰值，峰值为 $pb/(J_0+2\sqrt{as})$，其中 $a\ge \kappa$ 且 $s\ge k_{B}T\Lambda$。误差带为

$$\frac{\delta {\tau }^{\ast }}{{\tau }^{\ast }}=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{\delta a}{a}{)}^2+(\frac{\delta s}{s}{)}^2}$$

3. 标度。 在对不稳定率的扫描中，$\ln {\tau }^{\ast }$ 相对于 $\ln s$ 以斜率 $-1/2$ 下降。

证伪条件。 $\iota (\tau )$ 的实测最大化点落在 ${\tau }^{\ast }\pm 2\delta {\tau }^{\ast }$ 之外，或者在 $s$ 至少跨越一个数量级的范围内，$\ln {\tau }^{\ast }$ 对 $\ln s$ 的拟合斜率偏离 $-1/2$ 超过两个标准误。任何一种情况都会推翻这一论断：行动焦耳与持续焦耳在同一个仪表上相加，且 $\iota$ 被读作它们的密度。实测的 $\iota$ 若高于上限，则推翻该次运行的核算（F12，第 8.7 节）。

图 2 绘出了预测 1 的曲线。

与最接近的工作相比。 有限的最优循环时间本身并不新。Paneru 及其同事在一个 Brown 信息引擎中测得了功率最优的循环时间 [330]。Panizon 推导了作为测量成本函数的最优测量调度 [331]，Rolandi 及其同事给出了热力学计算中能量、时间与精度权衡的界 [332]。预测 1 增加的是内部最优点的来源，即针对漂移保持目标的持续成本，以及它的标度：${\tau }^{\ast }$ 按 ${\Lambda }^{-1/2}$ 下降。斜率检验是其独特的证伪条件。

新在何处。 有限时间 Landauer 界只为存储器定价，并随着 $\tau$ 增大而降向 $k_{B}T\ln 2$ [29]。在那里，最慢的重置是最便宜的。数据率定理只为保持定价，按每秒计（第 4.1 节）。两者都不给出内部最优点。本定义计量整个智能体，只计已确认的比特，并把 $\iota$ 读作焦耳轴上的密度。这样，保持目标使缓慢变得昂贵，最佳行动时间就是跳变时间 $1/⟨A⟩$ 与漂移时间 $1/\Lambda$ 的几何平均，相差一个因子 $1/\sqrt{2}$。在 Ehrich、Still 和 Sivak 的工作中，控制器自身的成本以同样的方式进入焦耳（第 5.1 节）。

在何处检验。 胶体反馈阱在软件中施加虚拟势，并在 $k_{B}T$ 尺度上由轨迹计算功（第 3.2 节）。一个坐标在虚拟双势阱中运行一比特行动循环，重置时间为 $\tau$。另一个坐标被保持在速率为 $\Lambda$ 的虚拟倒置势阱的顶部。带电荷探测器的单电子盒运行同样的行动循环，并对每次跳变计数，因此 $⟨A⟩$ 是测得的（第 3.2 节）。第 8.8 节给出实验方案。

命题 8。门槛排序

设定。 固定一个任务 $q$、它的谓词 $C(z)$ 及其允许的失败率 $\delta$。对每个系统 $S$，$J_S^{\ast }(q)\in (0,\infty ]$ 是第 1 节中的正确完成所需焦耳数，当 $S$ 没有任何策略通过门槛时，$J_S^{\ast }(q)=\infty$。当 $J_{S_1}^{\ast }(q)\le J_{S_2}^{\ast }(q)$ 时，定义 $S_1{⪯}_q{S}_2$。

陈述。

1. ${⪯}_q$ 是系统上的一个全预序：自反、传递且完全。第 2.3 节的排序 ${\succ }_q$ 是它的严格部分。
2. 每个通过门槛的系统都排在每个未通过门槛的系统之上。
3. 设对策略平均焦耳数的每次读数的相对误差至多为 $ϵ<1$。若 $(1+ϵ)J_{S_1}^{\ast }(q)<(1-ϵ)J_{S_2}^{\ast }(q)$，则在每种容许读数下 $S_1$ 都排在 $S_2$ 之上。
4. 积分后的 $\iota$ 不诱导这一顺序。存在满足 ${\iota }_{S_1}>{\iota }_{S_2}$ 且 $S_2{\succ }_q{S}_1$ 的系统。

证明。

1. ${⪯}_q$ 是 $(0,\infty ]$ 上的全序 $\le$ 经映射 $S\mapsto J_S^{\ast }(q)$ 的拉回。全序的拉回是全预序。它的严格部分是 $J_{S_1}^{\ast }<J_{S_2}^{\ast }$，这正是第 2.3 节的排序。
2. 每个有限值都小于 $\infty$。
3. 每个策略的读数位于 $[(1-ϵ)J_{\pi },(1+ϵ)J_{\pi }]$ 之中，因此可行策略上读数的最小值位于 $[(1-ϵ)J^{\ast },(1+ϵ)J^{\ast }]$ 之中。于是 ${\hat{J}}_{S_1}^{\ast }\le (1+ϵ)J_{S_1}^{\ast }<(1-ϵ)J_{S_2}^{\ast }\le {\hat{J}}_{S_2}^{\ast }$。
4. 设 $S_1$ 对每个任务以 0.1 J 进行一次尝试，以 1/2 的概率通过，且从不重试。设 $S_2$ 以 1 J 进行一次总能通过的尝试。每次通过计入 $b$ 比特。则 ${\iota }_{S_1}=(b/2)/0.1=5b$ 比特每焦耳，${\iota }_{S_2}=b$ 比特每焦耳。对任何 $\delta <1/2$，$S_1$ 永远达不到门槛，因此 $J_{S_1}^{\ast }=\infty$，而 $J_{S_2}^{\ast }=1$ J。$■$

解读。 第 4 部分是第 8.11 节中 R-F6 的机制：廉价的失败会提高积分后的 $\iota$，而 $J^{\ast }$ 保持不变或为无穷。这就是为什么 $\iota$ 被读作运行内部的密度，而 $J^{\ast }$ 是跨系统的排序。第 3 部分在每个仪表都有经过验证的 $ϵ$ 的前提下解决了 P6。

命题 9。最便宜优先何时最优

设定。 一个任务有档位 $g_1,\dots ,g_n$。使用档位 $g_i$ 的一次尝试花费 $c_i>0$ 焦耳（须全额支付），并以概率 $p_i$ 通过 $C(z)$。一个策略按某种顺序尝试各档位，在第一次通过时停止，并在最后一个档位之后拒绝。这里处理两种结构。独立：不同档位的通过是相互独立的事件。嵌套：如果 $g_i$ 通过，则每个后续档位都通过，通过概率为 $q_1\le \cdots \le q_n$。

陈述。

1. 独立档位。当按 $p_i/c_i$ 递减的顺序尝试各档位时，一个顺序的期望焦耳数最小。当且仅当成本递增的顺序同时也是 $p_i/c_i$ 递减的顺序时，最便宜优先是最优的。
2. 嵌套档位，共两个，且重档位充分（$q_H=1$）。当且仅当 $q_L{c}_H>c_L$ 时，先尝试轻档位会降低期望焦耳数。
3. 预算。在满足 $c_H\le B<c_L+c_H$ 的硬预算 $B$ 下，轻档位优先以概率 $q_L$ 关闭任务。单用重档位则以概率 1 关闭任务。

证明。

1. 顺序 $\sigma$ 的期望焦耳数为 ${\sum }_k{c}_{\sigma (k)}{\prod }_{j<k}(1-p_{\sigma (j)})$。交换跟在一个存活概率为 $P$ 的前缀之后、先 $i$ 后 $j$ 的两个相邻档位。它们的贡献从 $P[c_i+(1-p_i)c_j]$ 变为 $P[c_j+(1-p_j)c_i]$，其余都不变。因此，当且仅当 $p_i{c}_j\ge p_j{c}_i$，即 $p_i/c_i\ge p_j/c_j$ 时，$i$ 在前不会更差。任何未按该比值排序的顺序都有一对次序颠倒的相邻档位，交换它们不会提高期望焦耳数。有限次交换即可完成排序。这就是 Simon 和 Kadane 针对全有或全无解的搜索所给出的比值规则 [318]。
2. 轻档位优先的成本为 $c_L+(1-q_L)c_H$，因为重档位只在轻档位失败时运行，并随后通过。单用重档位的成本为 $c_H$。当且仅当 $c_L<q_L{c}_H$ 时，前者更小。
3. 一次失败的轻档位尝试剩下 $B-c_L<c_H$，因此重档位无法运行。$■$

解读。 固定级联，即按固定顺序的最便宜充分优先，在廉价档位通过得足够频繁、足以抵偿其失败时是最优的：在嵌套级联的每一步满足 $q_L{c}_H>c_L$，或者在独立档位中成本递增与 $p/c$ 递减相匹配。当该条件不成立时，直接使用更重的档位更优，而在有约束力的预算下，它可能是关闭任务的唯一途径。这就是第 8.11 节中选择器结果的机制。σ 律选择器用经过校准的通过概率来估计该比值。它是以焦耳为成本的计算价值规则，取 Russell 和 Wefald 以及 Horvitz 的意义（第 5.1 节）。当下一个行动不再能抵偿其焦耳时，它就停止。两种规则都停在这样一个下限处：超过它，更多的焦耳买不到可验证的进展，因此两者都是 Mixture of Limits 的实例。P7（第 7.1 节）列出了仍未解决的问题：当通过概率是估计值或充分性不单调时的遗憾界，以及档位多于两个的嵌套情形，后者是一个在档位的递增子序列上的动态规划。

2.4 各项研究的位置

• Mixture of Limits 是最优算子。最便宜的充分档位是关于焦耳的 argmin。它是一种理念，而不是一个固定的顺序：支出停在平台处，在那里更多即是浪费。
• 收据 为每个行动携带 $R^{\ast }$、$R$、$m$ 和 $J$。

3. 第 1 层。所提出的能动性普遍定律：一个定义加一个门槛

该定义有四条：在行动之前固定的预测、通过干预与世界的耦合、由系统承担的后果，以及以焦耳计的物理下限并在收据上记录拒绝。

3.0 对下限的异议

这里使用的下限存在争议，而命题 1 的假设 (R1) 至 (R4) 正是回应这些异议之处。Norton 认为，Landauer 原理只对含有热力学不可逆步骤的协议成立 [326]。Maroney 和 Sagawa 把逻辑不可逆性与热力学不可逆性区分开来：$k_{B}T\ln 2$ 为存储器的熵变定价，而不是为比特本身定价 [327, 328]。López-Suárez、Neri 和 Gammaitoni 在低于 $k_{B}T$ 的能耗下操作了一个不可逆逻辑门 [329]。Wolpert 及其同事认为，实际计算机的成本主要来自失配、模块化和时钟，而不是擦除 [320]。每一种异议都缩小了论断的范围，而没有推翻它。命题 1 只针对满足 (R1) 至 (R4) 的记录陈述，即重置到一个固定状态、各状态能量相等且没有共享相互作用能，这正是该界成立的情形；该下限是一个下界，而第 8.11 节各次运行中仪表能够分辨的每个已确认行动，都高出它 14 个数量级以上。K5 有类似的适用范围：Jordan 表明，若没有关于信息密度的假设，Margolus-Levitin 界并不以能量限制计算速率 [324]，因此 K5 被解读为关于正交状态变化的界，而不是关于时钟速度的界。

3.1 已证明

信息有价格。 Landauer 表明，逻辑不可逆操作每比特至少耗散 $k_{B}T\ln 2$ [6]。这是第 4 条之下的下限。Bennett 构造了一台可逆 Turing 机，并表明只有擦除必须付出代价 [35]。能动性不可避免的成本位于接受器的重置处，而不在思考处。Bennett 随后以擦除 Maxwell 妖存储器的成本解决了 Maxwell 妖问题 [7]。这个妖是一个最小的智能体。只有当它的存储器被重置时，它的账目才得以结清。这就是第 3 条加第 4 条。

反馈由信息定价。 Sagawa 和 Ueda 证明，在有反馈时，可提取的功以 $-\Delta F+k_{B}TI$ 为界 [3]。依据一次测量而行动的价值，受该测量所携带的信息所限。他们证明了测量功加擦除功至少为 $k_{B}TI$ [5]。预测、比较和重置的完整循环以焦耳定价。他们推导了反馈下精确的 Jarzynski 等式 [4]，以及子系统之间存在信息交换时的涨落定理 [36]。耦合是一种进入热力学第二定律的关联。Hartle、Wolpert、Stier、Kempes 和 Manzano 为带有噪声测量、有限存储器和有限协议库的反馈定价。以随机行动为基线，反馈的收益可以超出所获信息若干个数量级 [37]。比特给出了相对于自由能的功的界。相对于基线的价值则从仪表上读出。

熵转换为焦耳。 Esposito 和 Van den Broeck 为等温驱动系统推导了 $k_{B}T\Sigma =W-\Delta F_{\mathrm{neq}}$ [24]。通过这一恒等式，第 2 层中的每个运动学界都变成一个焦耳界。Horodecki 和 Oppenheim 证明了小尺度下单次操作的功成本 [38]。能动性行动就是单次操作。标准综述陈述了已确立的认识：信息是一种有价格的热力学资源 [39, 40]。

控制需要耦合。 Conant 和 Ashby 证明，一个好的调节器必须是它所调节系统的模型 [41]。一个调节得好的系统已经携带了一个预测。Touchette 和 Lloyd 证明，控制器所移除的熵以它与系统的互信息为界 [32, 33]。耦合是控制的通货。闭环控制，即依据比较而行动，正是该定义所要求的。Pearl 的 do 演算给出了干预算子，以及其效应可识别的条件 [1]。第 2 条就是用这个算子写成的。Everitt 及其同事对智能体篡改自身奖励或输入的方式进行了分类 [2]。耦合必须是与世界的耦合，而不是与智能体自身传感器的耦合。Richens 和 Everitt 证明，任何在一大类分布偏移下满足遗憾界的智能体，都已学到其数据生成过程的一个近似因果模型 [42]。Richens、Abel、Bellot 和 Everitt 证明，任何能泛化到多步目标导向任务的智能体，都已学到其环境的一个预测模型，并且该模型可以从策略中提取出来 [43]。一个有能力的智能体携带着一个预测。这就是第 1 条，并已对现代智能体得到证明。

信息在智能体内部流动。 Horowitz 和 Esposito 表明，子系统之间的信息流进入每个子系统的第二定律 [44]。耦合变成一个速率。Ito 和 Sagawa 用转移熵证明了任意因果网络的第二定律 [45]。预测、行动和结果是这样一个网络上的节点。Hartich、Barato 和 Seifert 把转移熵、学习速率和耗散联系起来 [46]。Allahverdyan、Janzing 和 Mahler 给出了耦合系统之间信息流效率的界 [47]。Esposito 和 Schaller 表明，只改变势垒的反馈仍然进入熵平衡 [48]。纯粹信息性的行动也在焦耳账本之中。

自主的妖。 Mandal 和 Jarzynski 求解了一个通过向带上写入比特来提升重物的妖 [49]。它没有外部操作者，由存储器为它的功买单。Boyd、Mandal 和 Crutchfield 以输入带和输出带的熵率给出了这类棘轮所做功的界 [50]。他们表明，模块化设计要付出高于 Landauer 界的耗散 [51]。智能体的构造方式会改变它的下限。Wolpert 和 Kolchinsky 计算了一个门在电路内部所付出的额外熵产生，它由电路的拓扑决定 [52]。布线是下限的一部分。

预测质量有焦耳价格。 Kolchinsky 和 Wolpert 证明，一个针对某一输入分布调优的过程，在任何其他分布上都会额外耗散一个相对熵项 [53]。Still、Sivak、Bell 和 Crooks 表明，不具预测性的记忆要付出耗散代价 [54]。只保留具有预测性的部分是廉价的设计。Kolchinsky 和 Wolpert 把语义信息定义为系统为使自身保持在平衡态之外而在因果上必需的信息，并赋予其热力学价值 [55]。它是现有论述中与焦耳最接近的。它止步于运动学之前，也止步于智能算子之前。Ortega 和 Braun 从带有信息成本的自由能原理推导出有限理性决策 [56]。Kolchinsky 和 Wolpert 以程序复杂度给出了通用计算热量的界 [57]。Kolchinsky 和 Wolpert 表明，对可用协议的约束限制了可提取的功和信息价值 [58]。Manzano 及其同事为在随机时刻停机的计算推导了涨落关系和类似第二定律的不等式 [59]。一个在其谓词通过时停止的运行就是这样的计算。

耦合与边界建立在定理之上。 Ay 和 Polani 通过干预定义了因果信息流 [8]。转移熵并不度量这种信息流，这一点已通过例子表明 [11]。Markov 毯条件只在一个狭窄的参数范围内成立，这一点已经推导得出 [15]，而且它在使用中的各种定义互不相同，这一点已有反例 [16]。每个二部随机过程都有一个因果毯，这是一条定理 [22]。定义 1 和定义 2 建立在这些结果之上。

3.2 已演示

Landauer 下限，已测得。 光学双势阱中的胶体微珠，在擦除放慢时平均热量趋近 $k_{B}T\ln 2$ [60]。一个反馈阱以高精度测得了同样的趋近过程，并在短循环时间下测得了额外成本 [61]。当行动很快时，下限会升高。这是在第 1 层实验中看到的第 2 层效应。一个绝热电子电路在不可逆操作中显示出 Landauer 成本，在可逆操作中显示出低于 $k_{B}T$ 的耗散 [62]。下限约束的是重置，而不是逻辑。纳米磁性存储比特在存储硬件中显示出这一下限 [63]。当自由能核算完整时，会出现近乎零功的擦除 [64]。下限针对的是总熵，因此收据必须携带完整的账目。进入该界的熵经测量具有 Gibbs-Shannon 形式 [65]。单个囚禁离子显示了量子下限 [66]。下限在每一种被测试的基底上都成立。一个欠阻尼微机械振子在高速下达到了下限 [67]。一个量子点在给定持续时间内以最小耗散擦除比特，其协议依据热力学长度设计 [68]。

反馈智能体把信息转化为功。 螺旋阶梯势上的胶体获得了高于所做功的自由能，差额由信息支付，并证实了广义 Jarzynski 等式 [69]。这是对一个其价值由事先测量所设定的行动的首次直接观测。单电子盒每比特提取了接近 $k_{B}T\ln 2$ 的功 [70]，并测量了含互信息的涨落定理 [71]。一个自主的片上妖利用信息冷却了一个系统，同时其自身的发热也被测量 [72]。智能体的成本与其效应被并排测量。

量子智能体遵守同样的界。分子自旋上的 NMR 通过反馈降低了熵产生，且在信息界之内 [73]，并在下限处把信息转化为能量 [74]。超导电路在反馈过程中跟踪了妖的存储器 [75]，验证了广义积分涨落定理 [76]，并测量了反馈过程中获得和失去的信息 [77]。耦合会衰减，因此收据必须在行动发生时记录它。三维光晶格中的冷原子通过测量被分选 [78]。Linpeng 及其同事在电路量子电动力学装置中，用量子光、相干光和热光测量了量子测量的能量成本。单光子光在每单位所获信息上的能量成本最低 [79]。写入记录的测量有一个测得的价格。

经典引擎在完整尺度上测得了这一价格。一个光镊引擎在理论极限处把信息转化为功 [80]。一个胶体引擎提取的功取决于其输入中的时间关联 [81]。一个处于连续监测下的 DNA 发夹，在每个循环中进行多次测量时，每循环产出多于 $k_{B}T\ln 2$ 的功，这与信息量相符 [82]。一个带延迟反馈的悬浮微粒在跨越两个数量级的延迟上遵守广义第二定律，而在大延迟下反馈失效 [83]。迟到的行动是更弱的行动。反馈阱引擎实现了功率和速度的最大化 [84]，最优地利用了噪声测量 [85]，并从非平衡热浴中采集能量 [86]。一个量子点在信息到功的转换中把功涨落与耗散联系起来 [87]。一个囚禁离子验证了包含妖自身耗散的涨落定理 [88]，这遵循了 Zeng 和 Wang 的理论 [89]。

功能系统智能体的构建与运行。 一条带有动作结果接受器的模拟线虫学会了运动和趋化 [90]。一台实体移动机器人运行了同样的功能系统控制器 [91]。第 1 条和第 3 条在软件中和在实体上都能运行。两者都不计量焦耳。

3.3 文献中的立场

有目的的系统与预期。 Rosenblueth、Wiener 和 Bigelow 通过趋向目标的负反馈定义了有目的的行为 [92]。它没有能量项。Anokhin 的功能系统包括传入综合、决策、在行动之前固定的动作结果接受器、动作以及比较 [93, 94]。这是第 1 条和第 3 条最早的系统形式，建立在动物实验之上。Sudakov 把结果表述为系统形成因素 [95]。预测条款是组织原则。Shvyrkov 根据单神经元记录表明，目标组织着神经活动 [96]。Rosen 把预期系统定义为包含其自身及其世界的预测模型、并依据预测而行动的系统 [97]。这些工作都没有设定焦耳下限。Sterling 把应变稳态定义为通过预测进行的调节 [98]。生理学把预测置于行动之前。Virgo、Biehl 和 McGregor 给出了一个系统的状态可以被解读为按 Bayes 定理更新的信念的条件 [99]。Biehl 和 Virgo 在一个系统可以被解读为在求解 POMDP（部分可观测 Markov 决策过程）时称其为智能体 [100]。两者都是形式定义。第 1 条要求得更少，固定得更多：一个模板，在 $t_0$ 时固定，并以哈希值记录在收据上。

自主性与组织。 Maturana 和 Varela 以自我生产定义了生命 [101]。Kauffman 把一个热力学功循环放进了自主智能体的定义之中 [102]。它没有预测条款。Di Paolo 把适应性，即对自身生存能力的调节，作为意义建构的条件 [103]。这就是第 3 条。Barandiaran 和 Moreno 提出了认知组织的最低标准，并把适应性调节建立在新陈代谢之上 [104, 105]。Barandiaran、Di Paolo 和 Rohde 以个体性、交互不对称性和规范性定义了能动性 [106]。Ruiz-Mirazo、Moreno 和 Mossio 把自主性刻画为一种自我维持的代谢组织 [107, 108]。Montévil 和 Mossio 把有机体描述为对热力学流的约束的闭合 [109]。在这一学派中，它与焦耳最为接近。Aguilera 和 Barandiaran 在随机热力学中构建了一个自主能动性的最小模型 [110]。自主性传统正在走向焦耳。Barandiaran 和 Almendros 把个体性、规范性和交互不对称性应用于大语言模型。模型不满足前两项，并部分不满足第三项 [111]。本定义按每个行动应用其门槛：当一次模型调用的收据携带 $R^{\ast }$、$m$ 和 $J$ 时，它就是一个行动。Levin 的 TAME（Technological Approach to Mind Everywhere）把能动性视为分等级的、并可在每个尺度上通过实验检验的 [112]。本定义让门槛对每个行动保持二值，而把分级放在 $X$ 中。

自由能与能动性的物理学。 Friston 提出智能体最小化变分自由能 [113, 114]。这种自由能是信息性的，而不是焦耳，并且每个有界系统都符合条件，因此它不设定下限。Rovelli 通过熵梯度解释能动性 [115]。能动性从根本上说是热力学的。Jaeger 认为能动性需要自我制造，而当前的人工智能缺少这一点 [116]。这是在任何智能论断之前设置门槛的要求。Azadi 把能动性与计算不可约性联系起来 [117]。Wissner-Gross 和 Freer 提出一种趋向未来路径多样性的力 [118]。它的因果温度不是热浴温度，因此其单位不是焦耳。Kappen 的评论对其提出了批评 [119]。Fields、Goldstein 和 Sandved-Smith 在主动推理智能体中把以焦耳计的热力学自由能与变分自由能区分开来，并把两者联系起来 [120]。只有焦耳量进入 K1。Bruineberg 及其同事把作为推理工具的 Markov 毯与作为物理边界的 Markov 毯区分开来 [17]。定义 2 从定义中取得边界。Bartlett 及其同事把以语义信息度量的目标导向信息处理作为生命系统的独特特征 [121]。这就是作为生命判据的第 2 条和第 3 条。

4. 第 2 层。能动性的运动学界限

一旦某个行动具备资格，物理便约束了能动性每秒和每焦耳能推进多快，以及精度与速度的代价。这些界分为四族：速度极限、TUR、有限时间代价和速率上限。

4.1 已证明

速度极限。 Shiraishi、Funo 和 Saito 证明了第 2.2 节中的经典速度极限 [23]。在时间 $\tau$ 内把智能体的状态分布移动距离 $L$ 要付出熵，因而要付出焦耳。该界可推广到开放量子系统 [122]，以及与一般环境的强耦合 [123]。Vo、Van Vu 和 Hasegawa 从同一个不等式推导出速度极限与 TUR [124]。Falasco 和 Esposito 用所花费的耗散界定了完成一次跃迁所需的时间 [125]。Ito 用熵产生界定了分布的信息几何速度 [126]。Ito 和 Dechant 用 Fisher 信息和耗散界定了任意可观测量的变化率 [127]。Nakazato 和 Ito 用所经过的 Wasserstein 距离界定了熵产生 [128]。Dechant、Sasa 和 Ito 把熵产生分解为推动系统运动的部分与维持其运行的部分 [129]。Van Vu 和 Saito 通过最优输运统一了 TUR、最小耗散与速度极限 [130]。Nagayama、Yoshimura 和 Ito 推导出一族以活性的广义平均为指标的速度极限 [131]。Yoshimura 和 Ito 在确定性化学反应网络中证明了 TUR 与速度极限 [132]。Aurell、Mejía-Monasterio 和 Muratore-Ginanneschi 把最小有限时间耗散作为最优输运问题求解 [133]。运动学界限构成同一个族。移动智能体状态的最便宜方式是一个输运映射。Hasegawa 从同一个体边对应推导出速度极限、TUR 与 Heisenberg 原理 [134]。Van Vu 和 Hasegawa 在经典与量子马尔可夫系统中用修正的 Wasserstein 距离界定了不可逆熵产生 [135]。Delvenne 和 Falasco 用动理学可观测量的统计界定了熵产生 [136]。

精度要付出耗散。 Barato 和 Seifert 给出了 TUR，$\mathrm{Var}(Y)/⟨Y{⟩}^2\ge 2/\Sigma$ [25]。可靠的智能体要为其可靠性付费。由 $ϵ=0.01$ 时的 $2/{ϵ}^2$ 可知，1% 的精度至少要花费 20,000 $k_{B}T$ [137]。Gingrich、Horowitz、Perunov 和 England 对所有稳态流证明了 TUR [26]。Horowitz 和 Gingrich 对有限观测时间证明了它 [138]，而这正是智能体所拥有的。进一步的结果界定了涨落的完整分布 [139]，涵盖离散时间步 [140]，在任何涨落定理成立之处推广 TUR [141]，并涵盖 Langevin 动力学、欠阻尼运动与速度反馈 [142, 143, 144]。流之间的关联会收紧这些界 [145]。Potts 和 Samuelsson 证明，任何涨落关系都蕴含一个 TUR，包括带测量与反馈的情形 [28]。这就是智能体的精度界。一篇综述阐述了该领域 [146]。Barato 和 Seifert 为时钟的精度定价 [147]。Salazar 从细致涨落定理出发，用信息界定了熵产生 [148]。Landi 和 Paternostro 综述了从经典到量子的熵产生 [149]。反馈形式现已涵盖智能体所遇到的情形。Van Vu 和 Hasegawa 用熵产生与一个动理学项界定了任意控制协议下的涨落 [150]。Tanogami、Van Vu 和 Saito 用子系统自身的熵产生及其与伙伴之间的信息流界定了该子系统的流 [151]。Kumasaki、Tojo、Sagawa 和 Funo 推导出反馈冷却的 TUR [152]。Honma 和 Van Vu 推导出连续监测与马尔可夫反馈下开放量子系统的有限时间 TUR，其中量子互信息与熵产生并列 [153]。对于计数可观测量，Garrahan 用动力学活性界定了涨落，并给出了首达时间的相应界 [34]。Gingrich 和 Horowitz 推导出累积一个净流所需首达时间的共轭关系 [154]。命题 3 把这些结果应用于已确认的能动性。

有限时间代价。 Schmiedl 和 Seifert 找到了最优有限时间协议，其两端存在跳变 [155]。有限速度下的最优行动并不是缓慢的行动。Sivak 和 Crooks 用热力学长度的平方除以持续时间界定了额外功 [30]。Proesmans、Ehrich 和 Bechhoefer 求得了在时间 $\tau$ 内擦除一个比特的最小代价 [29, 156]。第 1 层的下限变成了第 2 层的曲线。Zhen 及其同事给出了重置能量的一个普适有限时间界 [157]。速度与效率依定理相互权衡：最大功率下的效率 [158, 159]，有限功率排除 Carnot 效率 [160]，功率、效率与恒定性之间的三方权衡 [161]，以及低耗散热机的一个普适约束 [162]。Tsirlin 及其同事求得了固定速率下的最小耗散 [163]。Lee、Lee、Kwon 和 Park 收紧了高度不可逆过程的速度极限，并得到一个紧的有限时间 Landauer 界 [164]。Van Vu 和 Saito 推导出有限时间量子 Landauer 原理及相干性在其中的作用 [165]。Rolandi 和 Perarnau-Llobet 推导出超越弱耦合的有限时间 Landauer 原理 [166]。Kamijima、Funo 和 Sagawa 推导出测量与反馈之间的有限时间权衡 [167]。Tkachenko 针对物理神经网络表明，准静态推理不需要功，而有限速度推理至少要付出一个输运距离的代价（预印本）[168]。推理没有能在缓慢运行下保留下来的下限。重置有。命题 1 为它定价。

保持目标。 Tatikonda 和 Mitter [169] 以及 Nair 和 Evans [170] 证明了数据率定理：保持一个不稳定的线性系统，需要信道速率高于其不稳定特征值模的以 2 为底的对数之和。Nair、Fagnani、Zampieri 和 Evans 综述了该领域 [171]。Sandberg、Delvenne、Newton 和 Mitter 求得了一个连续测量的妖在有限时间内所能提取的最大功，并证明任何实现都需要外部电源 [172]。Horowitz 和 Sandberg 证明，第二定律不等式中的信息项构成一个层级，每一项都是通过一种不同的测量获取该信息的最小代价 [173]。命题 2 把比特数转化为每步的焦耳下限。它是数据率定理以焦耳定价的推论，而不是一条新定律。

量子反馈与测量。 反馈第二定律对量子系统成立 [3]。Jacobs 把它推广到弱测量 [174]。Funo、Watanabe 和 Ueda 推导出量子测量与反馈下的积分涨落定理 [175]。Guryanova、Friis 和 Huber 证明理想投影测量需要无限资源，并给出了能重现系统统计的指针的能量代价 [176]。Danageozian、Wilde 和 Buscemi 用 Groenewold 信息增益界定了错误识别的测量热 [177]。这些为写下记录的测量定价。命题 4 保留记录本身的下限。

群体。 Wolpert 依据关于每个子系统依赖哪些子系统的约束，推导出相互作用子系统最小熵产生率的一个严格非零下界 [178]。Tasnim 和 Wolpert 把该理论推广到共同改变状态的子系统 [179]。Wolpert 把整个贝叶斯网络的熵产生与其各部分中流的精度联系起来 [180]。Rolandi、Abiuso 和 Perarnau-Llobet 证明，集体协议可以使耗散功随成员数量次线性增长 [181]。Fujimoto 和 Ito 用博弈论方法发现，相互作用子系统的部分熵产生彼此权衡，并且当各子系统平均分担惩罚时总量最小 [182]。命题 7 把这些焦耳与群体的耦合比特组合起来。

速率上限。 Margolus 和 Levitin 用能量界定了每秒正交跃迁的次数 [31]。Lloyd 把该极限应用于整台计算机 [183]。Deffner 和 Campbell 综述了量子速度极限这一族 [184]。

生物传感器。 在细菌趋化中，能量耗散、适应速度与准确度相互约束 [185]。了解环境需要能量 [186]，推理准确度与耗散相关联 [187]。感知精度受受体、时间与能量的限制，三者之间存在最优分配 [188]。没有哪种资源可以省略。这与 Mixture of Limits 相符。适应过程中的擦除有代价 [189]。每耗散单位能量所获取的信息，是生物传感器中与 $v_J$ 最接近的现有量 [190, 191]。复制信息要耗费能量 [192]。写下收据是有代价的。准确且同步的生化时钟需要耗费自由能 [193, 194]，在高灵敏度下降低噪声也是如此 [195]。使系统保持在远离平衡的状态有一个最小功率 [196]。这就是一个随时准备行动的智能体的持续成本。Bryant 和 Machta 以每比特 $k_{B}T$ 为单位，把通过细胞物理信道发送一个比特的能量界定为尺寸、距离与延迟的函数，并发现它比单位值高出许多个数量级 [197]。Tjalma 及其同事证明，对细胞网络而言，最能预测未来的那些过去比特代价高得令人望而却步 [198]。

由选择获得的信息。 选择同样写入比特，而其速率是有界的。Kimura 用替代负荷度量了自然选择在基因组中累积的信息，并以他视为具有代表性的负荷值，估计约为每代 0.29 比特 [341]。Worden 用每代施加的选择界定了选择向基因组添加信息的速率 [342]。Hledík、Barton 和 Tkačik 证明，在随机种群中，该速率以种群规模乘以选择代价为界，这一结论适用于 Wright-Fisher、Moran 和扩散模型 [343]。每一个这样的界都是每代的速率。随着生物体增大，一代的时长也随之延长，因此只通过选择来学习的载体，每秒获得耦合比特的速度越来越慢。神经系统在一生之内写入比特，文化记录则跨越多个生命周期写入比特。第 2.2 节的运动学适用于每一种载体。从一种载体到下一种载体，改变的是每写入一个比特所需的时间，这正是当世界变化快于世代更替时，能动性从基因组转向大脑、再转向工具的原因。

图 3 对这三种载体进行排序。

不含焦耳的信息速率。 Schreiber 定义了转移熵，即每步的有向信息流 [199]。它是按时间计的，而不是按焦耳计的，并且没有资格门槛。Tishby 和 Polani 在 Bellman 递归中按步计入信息代价 [200]。Landauer 把这些比特换算为焦耳。Stratonovich 界定了给定信息量所能带来的最大收益 [201]。这是每个耦合比特价值的上限。

4.2 已演示

TUR 的检验。 一项双量子比特 NMR 实验遵守了广义 TUR，并在理论预测之处违背了特化的 TUR [202]。一台光镊信息热机在接近最大效率时违背了原始 TUR，而遵守了含互信息的广义界 [27]。智能体需要反馈形式。一台量子点 Szilard 热机独立地证实了这一点 [203]。原子尺度导体以实测的电流噪声检验了 TUR，这正是每一块芯片的物理 [204]。分子马达按每单位耗散的精度被评分 [205]。观测到的电流涨落从下方界定了耗散 [206]。涨落的收据是焦耳的下界仪表。

速度极限与有限时间代价的检验。 光晶格中的单原子展示了 Mandelstam-Tamm 界与 Margolus-Levitin 界以及二者之间的过渡 [207]。速率上限是经过测量的。一个被囚禁的胶体粒子测量了快速热跃迁中时间与熵的权衡 [208]。由最优输运协议驱动的布朗粒子达到了最小有限时间耗散界 [209]。运动学最优是可以达到的。一个反馈阱对照线性响应界测量了一台双力布朗机器 [210]。一项光子实验检验了熵产生的几何界 [211]。Dago 和 Bellon 在高速下测量了双势阱存储器中的擦除，并把高于 Landauer 界的额外开销追溯到其来源 [212]。

生物传感器的测量。 Mattingly、Kamino、Machta 和 Emonet 测量了 E. coli 在趋化过程中获取信息的速率，并证明这些细胞沿梯度上行的表现接近该速率所设定的极限 [213]。信息限制行为，这已得到测量。

有限速度下的热机。 单个胶体粒子运行了一台微米级 Stirling 热机 [214]。一颗被囚禁的微珠运行了布朗 Carnot 循环，并测量了最大功率下的效率 [215]。在两个选项中择一的能量代价得到了测量 [216]。这是最小的行动。一台胶体热机在活性细菌浴中运行 [217]，而经工程设计的噪声通过缩短弛豫，在有限功率下实现了接近 Carnot 的效率 [218]。对活性进行工程设计会移动这个界。一台信息热机在噪声作用下从制冷机翻转为加热器 [219]。收据必须记录所处的工作区间，而不只是均值。

仿真中的赋能。 Klyubin、Polani 和 Nehaniv 定义了赋能，即从行动到未来传感器的信道容量 [9]。它已在连续控制中得到计算 [220]，并有综述 [221]。它以比特衡量一个智能体能在多大程度上推动世界。它不是每焦耳的速率。

4.3 文献中的立场

运动学大多是定理与实验。这里的观点涉及哪个变量才是正确的。Seifert 认为，从涨落进行推理是通向隐藏代价的途径 [137]。Rovelli 以及 Wissner-Gross 和 Freer 都提出了熵的运动学 [115, 118]。Kolchinsky 证明，仅靠耗散并不能界定复制子增长或衰减的速度 [222]。速率由耗散与活性共同界定。这正是速度极限的形式，其中 $⟨A⟩$ 与 $\Sigma$ 并列。Adlam、McQueen 和 Waegell 认为，纯量子系统不可能是智能体，因为构建世界模型和进行审议都需要复制，而不可克隆定理禁止复制（预印本）[223]。条款 3 已经要求 $m$ 有一个经典记录。

5. 第 3 层。作为能动性微积分的智能

智能是经门槛筛选的能动性对焦耳的导数，从一次已完成的运行中读出。本层需要文献提供三样东西：把学习与决策同焦耳联系起来的理论、每单位有用功所耗焦耳的测量，以及关于智能是什么的立场。

5.1 已证明

以焦耳定价的学习与预测。 Goldt 和 Seifert 用学习网络所产生的熵界定了它所获取的信息 [224]。学习效率至多为一。这就是一次行动中学习部分的 $\iota$，并带有上限。Still 证明，最优记忆只保留预测性信息 [225]。花在记忆上的边际焦耳必须换来预测。Boyd、Crutchfield 和 Gu 证明，从数据中提取最多功的智能体拥有该数据的最大似然模型 [226]。更好的模型带来每焦耳更多的功。Boyd、Crutchfield、Gu 和 Binder 把过拟合与泛化表述为能量学问题 [227]。泛化以焦耳的形式出现。Ehrich、Still 和 Sivak 为控制器本身定价，而不只是为其所用的信息定价 [228]。因此 $J$ 必须在整个系统的墙插处计量。Ehrich 和 Sivak 给出了自主机器中能量流与信息流的账本 [229]。Wolpert 综述了超出 Landauer 的计算代价 [230]。Wolpert 及其同事列出了随机热力学中计算能量代价的开放问题 [320]。Levy 和 Baxter 证明，使每单位能量比特数最大化的神经编码不同于使比特数最大化的编码 [231]。大脑的正确目标是每焦耳的信息。Balasubramanian、Kimber 和 Berry 把探索性工作区间的目标设定为每单位功率的传输速率 [232]。这就是每焦耳的比特。Goldt 和 Seifert 针对批量学习与在线学习，用学习的热力学代价界定了网络关于某条规则所学到的信息 [233]。Fiderer、Barth、Smith 和 Briegel 定义了环境信道的功容量，即任何智能体在感知行动循环中可期望提取功的最大速率。功效率高的智能体在预测与遗忘之间取得平衡（预印本）[234]。Elliott、Gu、Garner 和 Thompson 证明，量子自适应智能体所需的记忆可以远少于记忆最小化的经典智能体 [235]。需要重置的记忆越少，要支付的下限就越低。

决策与有界最优性。 Russell 和 Subramanian 定义了有界最优性：对给定机器与环境而言的最优程序 [236]。在这里，资源是焦耳，最优解是在 $X\ge X_{\mathrm{req}}$ 约束下的 $\arg \min J$。Russell 和 Wefald 按每次计算对决策的期望影响扣除其代价后的净值为其定价，并在没有任何计算具有正的净值时停止审议 [316]。Horvitz 为资源约束下的推理构建了同样的权衡 [317]。σ 律选择器就是这一规则，只是代价以计量的焦耳表示。命题 9 给出了它在级联中的精确形式。Genewein 及其同事从效用减去信息代价推导出抽象与层级 [237]。Mixture of Limits 的档位就是这样的层级。Legg 和 Hutter 把智能定义为在所有可计算环境上按复杂度加权的期望奖励 [238]。它是一个积分，但针对的是奖励，不含能量，而且不可计算。焦耳上的导数用已确认的耦合比特取代奖励，用计量的焦耳取代测度。Takahashi 和 Hayashi 给出了现有最接近的以焦耳为变量的微积分 [239]。他们在明确的核算约定下定义了两个比率。每焦耳的热力学 epiplexity 为 $I(W^{\mathrm{post}};Z\mid W^{\mathrm{pre}})/E_{\mathrm{cons}}$：在给定边界内每消耗一焦耳，智能体状态中所保留的关于环境变量 $Z$ 的新比特。每焦耳赋能是从行动到观测的信道在每单位期望能量代价下的容量，即 Verdú 的单位代价容量。他们把一个热力学学习不等式与数据处理结合起来，证明了一个闭循环 Landauer 基准；并通过一个可逆复制构造表明，在边界开放且新记忆被免费引入的情况下，信息增益与边界内耗散会解耦。他们以一份报告清单作结：边界、能量平衡、基线、粗粒化、时域与重置、吞吐量、估计器。本研究从该工作中采纳了四点。他们的闭循环基准就是学习的 K1。他们的解耦构造是定义 2 中采用行动闭合计量的理由（引理 1）。他们的清单在第 8.12 节中被采用。他们建议在每秒比特之外同时报告每焦耳比特，这正是预测 1 所优化的变量。本定义与他们的度量在四个确切方面不同。每焦耳赋能是一种容量，即对行动分布取上确界；本定义计入的是实际运行的策略所实现的流（定义 1），而以容量作为其界。按他们自己的说法，他们的数字是相对于基准的效率报告；本研究在正确性门槛之后按 $J^{\ast }$ 对系统排序（命题 8）。他们没有在行动之前固定的预测，没有后果条款，也没有拒绝；本定义要求在任何比特被计入之前三者俱备。他们没有给出时间的运动学；预测 1 从同样的焦耳核算推导出最优行动时间与一个上限。Ortega、Braun、Dyer、Kim 和 Tishby 阐述了信息论的有限理性 [240]。Zénon、Solopchuk 和 Pezzulo 把认知代价表述为信息 [241]。Sims 把率失真理论应用于知觉 [242]。他们的货币是比特。Landauer 在重置时把比特换算为焦耳。

5.2 已演示

大脑。 Laughlin、de Ruyter van Steveninck 和 Anderson 测量了丽蝇光感受器与中间神经元中每比特的能量代价 [243]。更高的信息速率使每比特代价更高。这是在活的智能体中实测的 $\iota$，也是实测的收益递减，即感知中的 ${\alpha }_J<0$。Attwell 和 Laughlin 按过程构建了灰质的能量预算 [244]。Lennie 证明，能量限制了能同时活跃的皮层神经元数量 [245]。能量是约束，其余的随之适应。不同类型神经元的每个动作电位所耗能量差异很大 [246]。功能相同，焦耳不同。神经设计遵循能量效率 [247]。Levy 和 Calvert 对人类皮层进行了核算。通信的代价是计算的 35 倍，而一个神经元的计算与可能达到的最佳每焦耳比特数相差 $10^8$ 倍 [248]。这是到下限的距离。Harris 及其同事发现，视觉通路中的一个突触，其大小被设定为使每单位能量的信息最大，而不是使信息最大 [249]。目标是每焦耳比特，在单个突触处测得。Padamsey、Katsanevaki、Dupuy 和 Rochefort 发现，限食使小鼠视觉皮层的突触 ATP（三磷酸腺苷）使用量减少了 29%，并使朝向调谐变宽了 32% [250]。更少的焦耳换来更低的精度。Plaçais 和 Preat 证明，饥饿的果蝇会关闭代价高昂的厌恶性长时记忆，而强行恢复它会降低存活率 [251]。Plaçais 及其同事发现，蘑菇体中能量通量的升高会触发长时记忆 [252]。Mery 和 Kawecki 发现，形成长时记忆会降低果蝇的抗干燥能力 [253]。学习有一个实测的代谢代价。Hechler、de Lange 和 Riedl 测得在有把握的预测期间皮层耗氧量降低，降幅最多达 12%（预印本）[254]。预测先行可以节省焦耳。Malkin 及其同事在训练好的网络中为突触的可靠性赋予能量代价，并在最优解中发现了贝叶斯推理的特征 [255]。Li 和 van Rossum 证明，朴素的突触可塑性会耗费极高的能量，而在巩固之前缓存变化可以节省能量 [256]。Lynn 及其同事从神经影像中推断出人脑中细致平衡的破缺，且其随身体与认知负荷而上升 [257]。这种熵产生是粗粒化的、信息性的。它不是焦耳仪表。

机器。 存储器访问的能量代价远高于算术运算 [258]。参数量只有通过它迫使你搬运的焦耳才有意义。每瓦智能衡量本地加速器上每单位功率的任务准确率 [259]。它的分子是基准准确率，而不是经门槛筛选的能动性。MLPerf Power 对从微瓦到兆瓦的功率测量进行标准化，每个结果都以一个准确率目标为门槛 [260]。这个门槛就是 $J^{\ast }$ 的形式。FrugalGPT 将语言模型级联起来，并在评分器接受答案时停止 [321]。RouteLLM 学习在成本目标下把每个查询发送给强模型或弱模型 [322]。它们的成本是每次查询的美元数，门槛是一个质量阈值。若以计量的焦耳来解读，并以 $C(z)$ 作为门槛，两者都是命题 9 意义上的级联。ML.ENERGY 自动测量推理能量 [261]。TokenPowerBench 对大语言模型（LLM）推理的功率进行基准测试 [262]。Jin、Wei 和 Brooks 分析了测试时计算的能量 [263]。通用模型每项任务的能量代价远高于专用模型 [264]。最便宜的足够模型在焦耳上胜出。这就是 Mixture of Limits，已得到测量。Samsi 及其同事测量了 GPU（图形处理器）上大语言模型推理的能量 [265]。Dillavou 及其同事在没有处理器的物理电路中演示了去中心化学习 [266]。Stern 及其同事训练自学习电路以获得功率高效的解，并测量了功率与误差之间的权衡 [267]。Saggio 及其同事在一项光子实验中演示了学习型智能体的量子加速 [268]。学习所需的交互越少，需要关闭的行动就越少。

一个由内核报告能耗的接受器。 第 8.11 节报告了在一台笔记本电脑上对一个接受器智能体进行的一次预注册运行，包含预测先行、比较、拒绝和有约束力的焦耳预算。证伪条件在运行之前已经固定，其中若干项被触发：R-F1（各选择器在共同任务上的焦耳无法区分）、R-F2（5,400 个回合中有 36 个超支：在 $B=1.0$ 时 σ 律组 9 个、固定级联 7 个，在 $B=0.5$ 时目标盲基线 20 个）、R-F3、R-F5 和 R-F6（第 8.11 节）。$\iota$ 是从 4,940 张收据中读出的。中位数的已确认行动给出每报告焦耳 $1.5\times 10^5$ 比特，其每比特焦耳约为下限的 $2\times 10^{15}$ 倍。在有约束力的预算下，σ 律选择器比固定级联关闭了更多任务，这是 Mixture of Limits 的一个实例。该比较是在运行之后选定的，因此属于探索性结果，而且每个已关闭任务的焦耳相同。预注册的第二次运行和第二台机器只在最宽松的预算下重现了这一增益（第 8.11.2 节）。积分 $\iota$ 在宽松预算下把一个目标盲智能体排在第一，而 $J^{\ast }$ 把它排在最后。

群体的仿真。 Crosato 及其同事计算了模拟集体运动跨越其临界点时的热力学量 [269]。Chen 和 Prokopenko 比较了热力学效率与纯信息性效用作为临界附近集体行为之解释的优劣 [270]。命题 7 中的 ${\iota }_G$ 是此类比率经门槛筛选并经计量的形式。

仪表。 RAPL（Running Average Power Limit，运行平均功率限制）是 Intel 和 AMD 处理器中的一组片上能量计数器。其读数已对照外部测量得到验证 [271]。DRAM（动态随机存取存储器）读数另行验证 [272]。仪表质量取决于处理器的代际 [273]。Apple 的 powermetrics 手册写明，其平均功率值“是估计的，可能不准确”，且不应用于比较设备 [274]。在 Apple silicon 上，powermetrics 读数是报告值。该机器的实测焦耳来自外部墙插功率计。

压缩的评分。 Hutter Prize 对英文 Wikipedia 转储前一个吉字节的无损压缩进行评分，奖金池为 500,000 欧元，并对运行时间和内存设有限制 [275]。它约束时间与内存，从不约束焦耳。一个焦耳上限会使它成为某一类任务的能动性微积分基准。

估计值。 这些来源很有价值，而它们的焦耳数字是建模、外推或计算得到的。它们与实测焦耳并列，绝不取而代之。估计值从来不是 measured_j。Strubell、Ganesh 和 McCallum 对短时运行采样功率，并外推到自然语言处理模型的完整训练 [276]。Patterson 及其同事根据报告的硬件、运行时间与数据中心数据计算了训练能量 [277]。Lacoste 及其同事根据硬件类型、运行时间与地区构建了一个计算器 [278]。BLOOM 的足迹混合了计量输入与建模输入 [279]。Carbontracker 读取设备上的计数器并预测整次运行的总量 [280]。它的预测是估计值。Elsworth 及其同事报告，每条 Gemini Apps 文本提示的中位数为 0.24 Wh，计入了加速器、主机、闲置容量与数据中心开销 [281]。这是运营方报告的数字，归档为 reported_j。

5.3 文献中的立场

每个立场都对照本定义来定位：智能是经门槛筛选的能动性对焦耳的导数，从一次已完成的运行中读出。

• Schmidhuber 把内在奖励视为压缩进展，即智能体压缩其历史之优劣程度的一阶导数 [282]。这是把智能视为从运行中读出的导数的最接近先例。它的变量是压缩，而不是焦耳。
• Krakauer、Mitchell 和 Krakauer 把智能定义为一种涌现属性，表现为以越来越便宜、越来越快的方式运用涌现能力来解决问题，概括为“少即是多”[339]。他们的结论是，大语言模型至多表现出涌现能力，而非涌现智能。他们的定义在措辞上最接近 $\iota =dX/dJ$。它把能量列为分母，却没有对其计量。本微积分提供了仪表、区分能力与智能的门槛（第 1 节），以及从运行中读出的导数。
• Chollet 把智能定义为相对于先验与经验的技能获取效率，并配以 ARC（Abstraction and Reasoning Corpus，抽象与推理语料库）基准 [283]。它是一个比率。它的分母是信息与数据，而不是焦耳。ARC Prize 排行榜把每项任务的成本与得分对照绘制，作为效率的度量 [284]。成本以美元计。一个焦耳仪表会把它变成 $J^{\ast }$。
• Hernández-Orallo 构建了跨越物种与机器的通用心理测量学 [285]。它按任务进行评估。本研究按关闭任务所需的焦耳进行评估。Hernández-Orallo 和 Dowe 的随时测试会适应可用的时间 [286]。本微积分适应可用的焦耳。
• Gershman、Horvitz 和 Tenenbaum 把智能定义为扣除计算代价后的期望效用 [287]。本研究把这一代价定为焦耳。
• Lieder 和 Griffiths 把认知视为对有限资源的最优利用 [288]。这与 Mixture of Limits 接近。资源则保持抽象。
• Balasubramanian 通过大脑的能量限制来解读其设计 [289]。
• Silver、Singh、Precup 和 Sutton 认为奖励就足够了 [290]。奖励由设计者选择。焦耳从仪表上读出。Vamplew 及其同事回应说，标量奖励无法表达多目标的目的 [291]。本研究保留一个变量，即焦耳，并把多重性移入门槛 $X\ge X_{\mathrm{req}}$。
• Hafez 及其同事同时定义了能动性与智能 [292]。它并非以焦耳为本。
• Karagoz 把能量自维持作为目标 [293]。它没有预测门槛，没有运动学，也没有跨系统的焦耳排名。
• Chaisson 提出能量率密度，即每单位质量的功率，作为贯穿宇宙演化的复杂度度量 [294]。它是以瓦每千克计的速率。本微积分用焦耳去除已确认的比特。

$\iota$ 的范围由其分子决定。$X$ 计数的是与世界的已确认耦合，因此 $\iota$ 衡量的是一个智能体按其预测改变世界的代价有多低。它不衡量理解。Krakauer、Mitchell 和 Krakauer 把智能与紧凑、可传达的表示联系起来 [339]。紧凑的表示通过其效果进入本微积分：持有这种表示的智能体以更少的焦耳关闭后续任务。从不改变任何行动的理解，不在 $\iota$ 所读取的范围之内。

5.4 本微积分的现状

• 已证明： 学习、记忆、预测与控制各自都有带上限的焦耳价格。
• 已演示： 每比特焦耳已在大脑中测得。每项任务的焦耳已在机器中测得。仪表可以得到验证。
• 本研究已证明： 在按焦耳比例计入的条件下，$\iota$ 是焦耳轴上的有界密度（命题 5）。采样得到的 $\iota$ 收敛于它（命题 6）。群体按命题 7 组合。保持目标设定了最优行动时间以及 $\iota$ 的上限（预测 1）。
• 本研究已演示： $\iota$ 与 $J^{\ast }$ 从一个由内核报告能耗的接受器的收据中读出，证伪条件事先固定（第 8.11 节）。$J^{\ast }$ 能对智能体排序。积分 $\iota$ 不能。
• 本研究新增： 把智能读作从经门槛筛选的已完成运行中读出的 $dX/dJ$，并以 $J^{\ast }$ 作为排名。Takahashi 和 Hayashi 最为接近，他们在明确的核算下给出了每焦耳比特的比率 [239]。本研究增加了资格门槛、以实现的流取代容量、经门槛筛选的排名及其证明（命题 8），以及最优行动时间（预测 1）。

6. 按方法划分的全球发现

检索使用了俄语、汉语、日语、德语、法语、西班牙语、葡萄牙语、韩语、意大利语、波兰语、印地语和阿拉伯语，并以英语进行后续检索。第二轮再次检索了日语、汉语、俄语、德语、法语、西班牙语和韩语，并增加了波斯语、土耳其语和希伯来语。其结果已按其所证明、测量或定义的内容并入第 2 至 5 节和第 8 节。结果按方法与结果类别组织。语言只是元数据。没有任何条目按其来源地排名。

6.1 定理与综述：信息有热力学价格

• Poplavskii 较早地系统论述了获取与处理信息的能量代价 [295]。以俄文写成，有英文译本。所属层：定义。
• Stratonovich 证明了信息价值定理 [201]。俄文专著的英文版。所属层：运动学。
• Ito 和 Sagawa 把网络上的信息热力学应用于 E. coli 趋化。转移熵界定了鲁棒性，而在普通热力学效率低的地方，信息热力学效率很高 [296]。以日文写成。所属层：定义与运动学。
• Sun 和 Quan 综述了 Maxwell 妖以及信息处理中耗散的物理下限 [297]。以中文写成。所属层：定义。
• Quan、Dong 和 Sun 综述了介观热力学：一旦计入擦除，妖与第二定律相容；功率与效率的约束也得到了检验 [298]。以中文写成，有英文摘要。所属层：定义与运动学。
• Parrondo 的百科全书式综述给出了把信息视为热力学资源的当前论述 [299]。所属层：定义。
• Strasberg 的博士论文用物理模型检验了信息热力学中的常见假设 [300]。以英文写成，有德文摘要。所属层：定义。
• 通过日语、俄语、汉语、韩语、葡萄牙语、意大利语和波兰语检索发现的其他定理：化学网络中的速度极限与 TUR [127, 131, 132]，有限时间热力学 [159, 162, 163]，Langevin TUR [143, 144]，熵产生的信息界 [148, 149]，以及单次功代价 [38]。

6.2 实验：价格已被测量

• Dago 的博士论文报告了在欠阻尼微悬臂梁上以高速进行、接近最小能量的 1 比特擦除与写入 [301]。以法文写成。所属层：在运动学速度下达到定义的焦耳下限。
• Lagoin 的博士论文用颗粒气体中的叶片构建了宏观 Maxwell 妖，包括一台 Szilard 热机 [302]。以法文写成。所属层：定义。妖的核算在微观区间之外依然成立。
• Ciampini 及其同事在一项光子实验中用可提取功来见证量子关联 [303]。所属层：定义。
• 通过韩语、葡萄牙语、印地语、意大利语、西班牙语、汉语和日语检索发现的实验：信息热机 [27, 80]，NMR 妖 [73, 74]，量子比特上的 TUR [202]，活性浴热机 [217, 218]，几何界 [211]，对称性破缺与 Carnot 循环 [215, 216]，囚禁离子妖 [66, 88]，以及反馈转换与最优输运 [69, 76, 209]。

6.3 功能系统理论：行动之前的预测

Anokhin 学派以生理学术语表述了条款 1 和条款 3。一个结果模板，即行动结果接受器，在行动之前形成，在行动之后进行比较，而这一比较会重组行为。这些工作是通过俄语检索发现的。

• Anokhin 的功能系统 [93, 94]。
• Sudakov 关于结果作为系统形成因素以及行为的概率性预测的论述 [95, 304, 305, 306]。
• Shvyrkov 关于目标组织神经元活动以及学习作为神经元系统之选择的论述 [96, 307]。
• K. V. Anokhin 关于大脑认知结构作为由功能系统元素构成的超网络的论述 [308]。
• Saltykov 和 Grachev 关于系统形成因素即预期的论述 [309]。
• Vityaev 关于把目的性形式化为预测结果的规则学习的论述 [310]。

已实现并运行。 基于功能系统理论构建的认知架构会形成结果模板、进行比较并学习子目标，既在仿真中，也在实体机器人上 [90, 91, 311, 312, 313]。它们都不计量焦耳。为其中一个智能体加上仪表，将在一个现有实现上检验定义、运动学与微积分的完整次序。可微概率逻辑网络是相关的微积分工具，并非基于功能系统构建，没有资格门槛，也没有焦耳 [314]。

6.4 自主性、组织与最小能动性

通过西班牙语、法语和德语检索发现。能动性是一种调节其交互的自我维持组织 [103, 104, 105, 106, 107, 108]。该组织是热力学流上的约束闭合 [109]。自主性学派已进入随机热力学领域 [110]。所属层：定义，即在任何行动被计入之前必须存在的组织。

6.5 机器智能的实测焦耳

通过关于推理能量的汉语检索发现：自动化推理能量测量 [261]、每词元功率基准 [262]，以及测试时推理的能量 [263]。

6.6 能动性哲学

Rovelli 的能动性物理学是通过德语检索发现的 [115]。Jaeger 和 Azadi 补全了这组立场论文 [116, 117]。

6.7 未发现原始研究的检索

印地语和阿拉伯语检索未发现以这些语言发表的原始研究。英语后续检索发现了更多工作，已按方法列于上文。波斯语、土耳其语和希伯来语检索返回的是学位论文、综述以及已引用的工作，没有新的原始研究。

6.8 收敛观察：信息、能量与预测

近期有九项来源讨论信息、能量与预测之间的关系。其中四项已全文阅读，并按其陈述的内容引用：Takahashi 和 Hayashi [239]、Perrier [344]、Xu 和 Li [345]，以及 Still、Sivak、Bell 和 Crooks [54]。五项只读了部分，仅就所指明的段落引用：Wolpert [230]、Ortega 和 Braun [56]、Zhang、Zhu、Zhang 和 Hu [348]、Fagan [346] 以及 Kumar [347]。本节记录每项来源陈述了什么、没有表明什么。这是对相互重叠的问题的观察，不是结果的比较，也不是关于优先权的主张。节号与式号均为所列版本中的编号。引文已用脚本对照保存的文本核对。标为“重新计算”的数值是本研究自己的算术。

通俗地说

1. 多位作者写下同一类量：获得的或据以行动的信息，除以所耗的能量（每焦耳比特，bit/J），或其倒数（每单位智能的瓦特数）。
2. 确凿的结果是热量的下界。它们说明物理上至少需要多少能量，而不是任何真实机器实际用了多少。
3. 这里读过的来源都没有在真实硬件上测量能量。凡出现能量数字之处，都是根据 FLOP 计数或模型假设估计的。

单位。 $k_B=1.380649\times 10^{-23}$ J/K。在 $T=300$ K 时，$k_{B}T\ln 2=2.871\times 10^{-21}$ J 每比特（重新计算），其倒数为 $3.483\times 10^{20}$ bit/J（重新计算）。取 $\beta =1/(k_{B}T)$，以奈特计的信息乘以 $k_{B}T$ 即换算为焦耳，以比特计的信息则乘以 $k_{B}T\ln 2$。

全文阅读的来源

Takahashi 和 Hayashi，arXiv:2602.05463v2（2026 年 7 月 20 日）[239]。 所读版本为 arXiv 上的版本。

• 每焦耳 epiplexity（表观复杂度）为 ${\eta }_E=\Delta I/E_{\mathrm{cons}}$，单位为 bit/J，其中 $\Delta I=I(W_{\mathrm{post}};Z\mid W_{\mathrm{pre}})$（式 3 和式 10，第 2.2 节）。能量平衡为 $E_{\mathrm{cons}}=Q_{\mathrm{diss}}+\Delta U_{\mathrm{sys}}+W_{\mathrm{out}}+\Delta E_{\mathrm{store}}$（式 1）。
• 每焦耳赋能为 ${\eta }_C^{\ast }={\sup }_{p(a)}I(A_{0:\tau -1};O_{\tau })/\mathbb{E}[c(A)]$，单位为 bit/J（式 18，第 3.2 节），并有一条成本约束曲线（式 19）。赋能是从行动到后续观测的信道容量（式 17，第 3.1 节）。
• 闭合循环界为 $Q_{\mathrm{diss}}\ge k_{B}T\ln 2\Delta I-T\Delta S_{\mathrm{sys}}$（式 15），因此当 $\Delta S_{\mathrm{sys}}=0$ 时，$\Delta I/Q_{\mathrm{diss}}\le 1/(k_{B}T\ln 2)$（式 16，推论 1）。式 15 由式 14 移项得到（已核对）。推论 1 需要二部马尔可夫假设与局部细致平衡假设。
• 作者给出一个用于学习的每焦耳比特度量、另一个用于控制的度量，以及一份报告清单：边界、基线能量、时间跨度、估计量（第 5.1 节）。他们的命题 1 是一个解耦构造，表明若核算边界排除了准备新记忆的代价，该界就不成立。
• 作者陈述的适用范围：“所得数字是相对于基准的，而非普适的”。关于上限：“Landauer 尺度的极限是概念上的标尺，远超当前硬件。”
• 第 5 节的算例使用已发表的困惑度、$10^9$ 个词元，以及根据 $6PD$ FLOP 在假定的 $2.5\times 10^{11}$ FLOP/J 下估计的能量。重新计算：$\Delta G\approx 4.51\times 10^8$ bit，$E$（410M 模型）$\approx 2.95\times 10^9$ J，边际效率 $\approx 0.106$ bit/J。作者写道：“这个数字依赖于约定，但它演练了这份清单。”
• 此处未核实：引理 1 重述了一个来自未读工作的不等式。式 17 使用 $O_{\tau }$，而第 3.2 节正文指的是 $I(A;S_{\tau })$。式 20 已由作者标注：“在没有假设的情况下，不主张这是一个普适恒等式”。

Perrier，arXiv:2504.05328v2（2025 年 6 月 16 日）[344]。 仅引用其定义。

• 每单位智能瓦特数为 $\Phi (\Sigma )=P(\Sigma )/I(\Sigma )=E(\Sigma )/(\tau I(\Sigma ))$（式 7，第 3.3 节），其中 $I$ 是按任务加权的性能和（式 2）或 Legg 和 Hutter 求和（式 1）。假设为 $E=FNc$，其中 $c=k_{B}T\ln 2$，开销 $F\ge 1$（式 5），以及 $I\le \alpha N$，其中 $\alpha$ 未指定（式 6）。定理 1 给出 $\Phi \ge cF/(\alpha \tau )$（式 8）。
• 作者公开陈述了前提：“我们的工作假设不可逆计算与智能之间存在相关性。”论文不含任何测量；它只是说“在实践中，可以测量实际的硬件使用情况”。
• 发现的错误（我的解读，未与作者确认）：（1）第 3.1 节把 $N$ 定义为单位时间内的量，但式 3 和式 5 使用 $[0,\tau ]$ 上的 $E$，这需要 $N$ 为总量，而此时 $cF/(\alpha \tau )$ 随 $\tau$ 增大而趋于零。（2）$\alpha$ 是自由参数，因此定理 1 没有给出数值下限。（3）定理 2 的证明得到形如 $\Delta i_K>-\log (1/\delta )$ 的界，当 $\delta <1$ 时它为负，而正文却把 $-\log (1/\delta )$ 当作正数。（4）把 $I\le \alpha \Delta i_K$ 与 $P\ge \Delta i_K{k}_{B}T\ln 2/\tau$ 结合，得到 $I/P\le \alpha \tau /(k_{B}T\ln 2)$，而式 14 中没有 $\alpha$，没有 $k_{B}T\ln 2$，且对 $\tau$ 的依赖方向相反。（5）$\Delta i_K=K(y)-K(x)$ 可能为负，而式 13 中附加 Landauer 代价的方向没有论证；定理 3 继承了这一问题。（6）硬件排序 ${\Phi }_{\mathrm{CPU}}>{\Phi }_{\mathrm{GPU}}>{\Phi }_{\mathrm{neuro}}$ 只是断言，没有给出数值。

Xu 和 Li，arXiv:2511.19156v4（2025 年 12 月 30 日）[345]。 保存的文本已全文阅读；图只读了图注和印出的数值。仅引用其定义。

• 推导深度 $D_d$（式 10）和推导熵 $H_{\mathrm{derive}}=D_d\lambda$，在所陈述的经典区间中 $\lambda =\ln 2$ 奈特（式 14，假设 3）。所主张的界：$E_{\mathrm{compute}}\ge D_d{k}_{B}T\ln 2$（命题 4，式 98 和式 99）以及 $E_{\mathrm{storage}}\ge |S|k_{B}T\ln 2(t/t_{\mathrm{refresh}})$（命题 5，式 100）。在重算与存储之间取舍的盈亏平衡查询频率以抽象成本单位给出（定理 5，式 32）。
• 作者称其代价为“能耗的信息论代理量”。数值验证（第 VI 节）使用一个合成的 100K 原子知识库以及论文自己的抽象成本，因此是用模型检验模型自身。应用数字（1000 kWh、45% 的降幅）没有给出测量方法，此处不予采用。
• 摘要写道：“我们的发现表明，推导熵的最小化是一条支配性原理”。正文在别处则不主张明确的结果：“我们有意不去形式化”最后一项观察，即不把它写成相变定理。
• 发现的错误（我的解读，未与作者确认）：（1）假设 1 中 $E\tau \ge \kappa$，$\kappa$ 是以 J s 为单位的作用量，而推论 1 令 ${\kappa }_T=k_{B}T\ln 2$，这是能量，并且去掉了 $\tau$。（2）式 98 假设每一步推理都擦除一个比特（假设 3），而同一篇论文的注记 15 承认可逆计算可以避免这一代价。（3）在引理 2 中，反证论证把该界的否定写成 $K=o(n\log m)$，并声称这与 $H\gg \log m$ 矛盾；其实并不矛盾，因为 $n\log m\gg \log m$。因此该下界没有得到证明，而定理 4 至 6 与推论 7 都依赖于它。（4）定理 6 的情形 (b) 使用了 $N=\Omega (L_S)$，而所需的是 $N=O(L_S)$。（5）式 135 中取 $H(Q)=10^{12}$ 时的临界存储量，重新计算为 $1.25\times 10^{10}$（以 2 为底的对数）、$1.80\times 10^{10}$（ln）或 $4.15\times 10^{10}$（以 10 为底的对数），而不是印出的 $2.5\times 10^{11}$。表 II 的正文（紧度 0.50 至 0.93）与表格本身（0.50 至 0.81，高频时为 0.89）不一致。

Still、Sivak、Bell 和 Crooks，arXiv:1203.3271v3（2012 年 10 月 5 日）[54]。 阅读的是 arXiv 版本；期刊版本未读。

• 记系统状态为 $s_t$、驱动信号为 $x_t$，则 $I_{\mathrm{mem}}(t)=I[s_t,x_t]$，$I_{\mathrm{pred}}(t)=I[s_t,x_{t+1}]$，单位为奈特。每一步有 $\beta ⟨W_{\mathrm{diss}}[x_t\to x_{t+1}]⟩=I_{\mathrm{mem}}(t)-I_{\mathrm{pred}}(t)$（式 14）。总体上有 $I_{\mathrm{mem}}-I_{\mathrm{pred}}\le \beta ⟨W_{\mathrm{diss}}⟩\le \beta ⟨W_{\mathrm{ex}}⟩$（式 18）。精细化的 Landauer 界为 $-\beta ⟨Q⟩\ge I_e+I_{\mathrm{mem}}-I_{\mathrm{pred}}$（式 21）。
• 对信号的记忆若无助于预测其下一个值，就要付出耗散功，代价为每奈特 $k_{B}T$。作者陈述的推论：“任何为保持关于其环境的记忆、并以最大能量效率运行而构建的系统，都必须是预测性的”。
• 这是对保持驱动信号记忆的系统的耗散下界。它没有表明任何真实系统能达到该界，也不是关于一般智能体的陈述。没有实验，也没有焦耳数据。
• 已核对：脚注 24 正确；式 17 由式 11、14 和 15 推出；式 18 由式 16 推出；式 21 由式 19 和 20 推出。300 K 时 $k_{B}T=25.9$ meV（重新计算；论文给出 25 meV）。未核实：对任意信号过程，每步项的非负性在正文中有陈述但未证明，此处也未证明。

部分阅读的来源

每个条目仅限于所述段落。对未读部分不作任何主张。

• Wolpert，arXiv:1905.05669v3 [230]。 阅读了第 V 节（式 29 至 44，例 1 至 6）、第 XVI 节、附录 A 以及附录 B 的开头。第 V 节给出 $Q(p_0)=\sigma (p_0)+S(p_0)-S(\pi p_0)$（式 29）以及 Landauer 代价 $L(p,\pi )=S(p)-S(\pi p)$（式 35），后者仅对固定的输入分布有定义。115 页中约 70% 未读，命题 1 依赖于一个未读的被引结果。
• Ortega 和 Braun，arXiv:1204.6481v2 [56]。 阅读了正文（第 1 至 8 节）。定理 5 至 7 的证明以及补充材料无法获得。引用其式 9，$p(x)\propto p_0(x)e^{\beta U(x)}$，以及第 1.1 节的单分子示例（代价 $k_{B}T\ln (1/p)$）。在式 5 和推论 3 中发现了印刷错误。图 4 中所陈述的最优值 $M=35$，按我对其设定的理解重新计算为 33。
• Zhang、Zhu、Zhang 和 Hu，arXiv:2607.24287v1 [348]。 阅读了第 4.1 至 4.6 节（T1 至 T6 的证明）。引用的是其陈述：公理 1“作为经验公设而采用，而非在本框架内推导”，以及其能量是无量纲的（奈特）。T7 至 T10 的证明以及第 4.7 和 4.8 节未读。T5 的 Euler-Lagrange 方程中有一处不一致尚未解决。
• Fagan，arXiv:2601.00021v2 [346]。 阅读了第 5.3 至 14 节以及参考文献；第 1 至 5.2 节此前已读，未重读。引用其式 116，$\chi ={\dot{W}}_{\mathrm{causal}}/{\dot{I}}_{\mathrm{irr}}$，以及作者的陈述：其代理量“在不同系统之间不必在数值上一致”。模拟（第 12 节）使用的是代理量，而非焦耳，且第 12.1 节中有一条曲线按构造随 $\lambda$ 递减。
• Kumar，Zenodo 18993403 [347]。 阅读了附录 A.1 至 A.28 以及参考文献；正文此前已读，未重读。保存的文本丢失了上标，因此不引用 A.26 和 A.28 中印出的指数。引用其 $I\le P/(k_{B}T\ln 2)$（式 125），论文把其前提陈述为有条件的（“如果产生有用的知识需要不可逆的信息处理”）。重新计算：310 K 下 20 W 对应 $6.74\times 10^{21}$ bit/s。

九项来源合起来表明了什么

来源	它表明了什么	它没有表明什么	阅读状态
Takahashi 和 Hayashi	两个 bit/J 度量（学习、控制）；在陈述的假设下的闭合循环 Landauer 尺度上限；一份报告清单	实测的焦耳；对真实系统 epiplexity 或赋能的估计；对该界的检验	全文（16 页，无附录）
Perrier	定义 $\Phi =P/I$，以及一个仅在假定联系 $I\le \alpha N$ 下成立的界	实测能量；数值下限；定理 2 或 3 的正确证明	全文（12 页）；仅引用定义
Xu 和 Li	推导深度与推导熵的定义；有条件的 Landauer 型界；一项合成模拟	实测能量；引理 2 的正确证明；独立验证	保存的文本全文；仅引用定义
Still、Sivak、Bell 和 Crooks	一个等于非预测性记忆的耗散下界，$\beta ⟨W_{\mathrm{diss}}⟩\ge I_{\mathrm{mem}}-I_{\mathrm{pred}}$	真实系统能否达到；一般智能体；实测的焦耳	全文（5 页）；期刊版本未读

在全部九项来源中，所读文本都没有报告在真实硬件上测得的焦耳。出现的能量数字都是根据 FLOP 计数、标称功率额定值或模型假设估计的。凡出现界之处，它们要么是在陈述的假设下的耗散下界，要么是有待测量的比率定义。

本节的局限。 引文对照的是由 PDF 转换得到的文本，而双栏转换可能使行交错。所列错误来自我的阅读和重新计算，尚未发给作者。版本差异（v1 至 v2）仅就 Takahashi 和 Hayashi、Perrier 以及 Xu 和 Li 按结构和摘要作了比较。

7. 开放问题

7.1 必须证明的内容

P1. 运行路径是良定义的。 已证明。命题 5 在按焦耳比例计入的条件下，给出 $\iota =dX/dJ$ 作为焦耳轴上的密度，且 $0\le \iota \le 1/(k_{B}T\ln 2)$。命题 6 给出随着仪表采样的细化，采样 $\iota$ 的收敛性，误差项为仪表的相对误差。

P2. 以能动性为门槛的 Landauer 界。 在闭循环核算下，每个已确认的耦合比特至少花费 $k_{B}T\ln 2$，因此 $v_J\le 1/(k_{B}T\ln 2)$。已有：测量加擦除的功至少为 $k_{B}TI$ [5]，擦除每比特至少花费 $k_{B}T\ln 2$ [6, 7]。缺少：一个数据处理步骤，用以证明 $X$ 中计入的耦合比特不能超过比较期间记录在接受器记忆中的比特。条款 3 已经要求确认 $m$ 来自一个物理记录。命题 1 把这一步作为假设（R2），证明了每次行动的下限。

P3. 能动性速度极限。 对记录满足（R1）至（R4）的行动已证明。命题 1 通过 Fano 不等式，用 $b_k{k}_{B}T\ln 2$ 加上一个关于 ${\tau }_k$、$⟨A{⟩}_k$、重置误差 $\epsilon$ 与已确认比特的有限时间项，从下方界定了行动 $k$ 的平均焦耳。预测 1 加入了保持目标的持续焦耳，并给出最优行动时间。

P4. 智能体的精度界。 已证明。命题 3 对已确认行动的计数，用动力学活性界定了已确认能动性的相对方差；在反馈下，则用熵产生连同信息项来界定。

P5. 事后定理。 $\iota$ 仅是已完成收据的函数。没有任何运行前的量能确定它。已有：每个 $m_k$ 都把一个结果与行动之前固定的预测相比较，因此在行动 $k$ 关闭之前 $m_k$ 是未知的。缺少：构造两个世界，它们在运行前预测器所见的一切上都一致，而在某个 $m_k$ 上不同。结合 P1，这将使“智能从已完成的运行中读出”成为一条定理。

P6. 排名在计量误差下依然成立。 已证明。命题 8 第 3 部分：若 $(1+ϵ)J_{S_1}^{\ast }(q)<(1-ϵ)J_{S_2}^{\ast }(q)$，其中 $ϵ$ 为仪表的相对误差界，则在该误差范围内的任何读数下都有 $S_1{\succ }_q{S}_2$。缺少：每个仪表经过验证的 $ϵ$ [271]。

P7. Mixture of Limits 的最优性。 部分已证明。命题 9 给出了独立档位以及两个嵌套档位情形下的精确条件，以及预算机制。固定级联实例从最便宜的档位开始依次尝试，在第一个输出通过 $C(z)$ 的档位处停止，若下一档位会突破预算，则附带收据拒绝。它在失败尝试的代价之内达到焦耳最小值。已有：如果充分性随档位次序单调，且档位代价随次序上升，那么第一个充分的档位就是最便宜的充分档位。缺少：当通过概率是估计得到的或充分性不单调时的遗憾界，多于两个档位的嵌套情形，以及该规则与 σ 律选择器 $a^{\ast }=\arg \max [H(a)-\lambda J(a)]$（约束为 $J\le B$）选择相同行动的条件。

P8. 能动性何时产生复利。 使 ${\alpha }_J>0$ 在一次运行中成立、从而较早的收据降低较晚关闭的焦耳的条件。缺少：一个复用模型，其中存储的收据使后续 $J$ 的降低超过存储与查找的焦耳。Still 给出了记忆代价这一侧 [225]。第 8.10 节测量了模板在每次行动焦耳中所占的份额。

7.2 必须演示的内容

编号	论断	所需证据
D1	每项任务的 $J^{\ast }$ 是在至少两种计算平台上测量的，而不是估计的	x86 Linux 上来自 RAPL 的 measured_j，以及 Apple silicon 上的外部墙插功率计
D2	在有约束力的预算下，σ 律选择器以比固定级联更少的实测焦耳关闭任务	使用相同任务、档位、谓词、预算和仪表的配对运行
D3	附带收据的拒绝有效	零超支，不可行任务上予以拒绝，可行任务上很少拒绝
D4	$\iota$ 从收据中读出，并且在不同随机种子间稳定	每次运行的 ${\iota }_k$ 序列，其离散度在预设界之内
D5	估计值不能替代测量	est_j 与 measured_j 之间的排名一致性，予以报告，绝不合并
D6	物理下限得到遵守，且差距已知	每个已确认比特的实测焦耳除以 $k_{B}T\ln 2$
D7	预测 1：保持目标的智能体的最优行动时间与上限	在两个或更多不稳定速率下进行 $\tau$ 扫描，行动焦耳与持续焦耳分别计量并合并计量

第 8.11 节报告了针对 D2 至 D6 的第一次运行，基于报告焦耳。第 8.11.1 节报告了在同一台机器上的第二次运行，包含守卫与拒绝的修复；第 8.11.2 节在第二台机器上重复了该运行。

8. 实验计划

本计划中的每张表、每份收据和每张图都遵循同一条规则。估计值永远不是 measured_j。建模得到的数字标注为 est_j。经仪表计量的数字标注为 measured_j，并注明所用仪表。

8.1 仪表

缩写：CPU（中央处理器）、GPU（图形处理器）、ANE（Apple Neural Engine）、AC（交流电）、NVML（NVIDIA Management Library）。

等级	仪表	读取内容	标签
M0	外接墙插式功率计，以 1 Hz 或更快的频率记录	整机交流功率	measured_j，wall
M1	通过 Linux powercap 读取 RAPL，包括封装、核心、非核心和 DRAM 域（若存在）	片上累计能量，单位为微焦耳	measured_j，rapl
M1g	独立 GPU 上的 NVML 总能量计数器	GPU 板卡累计能量	measured_j，nvml
M2	Apple powermetrics，CPU 与 GPU 采样器，采样间隔 100 ms	系统报告的 CPU、GPU 和 ANE 功率	reported_j，powermetrics

• RAPL。 在每次行动前后读取计数器。处理计数器回绕。在校准工作负载上对照 M0 进行验证 [271, 272]。
• powermetrics。 读数记为 reported_j。Apple 芯片上的实测焦耳来自 M0。在同一台机器内，reported_j 把焦耳归属到 CPU、GPU 和 ANE。
• 空闲基线。 在每个区块之前，在每个仪表上记录 120 s 的空闲功率。并列报告总焦耳数与扣除空闲后的焦耳数。绝不只报告扣除后的数字。
• 状态控制。 在操作系统允许的情况下固定 CPU 频率调节器。记录环境温度与热压力。关闭后台任务。每个实验组丢弃一次预热运行。

8.2 任务

每项任务都有一个可由机器检验的完成性谓词 $C(z)$：代码用单元测试，算术用精确匹配，信息抽取用模式验证，工具使用用经过验证的最终状态。事先固定两个层。近优任务是最便宜的档位通常就能完成的任务。复利型任务是可以复用先前收据的任务序列。$X_{\mathrm{req}}$ 由 $C(z)$ 设定。通过是一道门槛，而不是一个分数。

8.3 实验组

所有实验组共享档位、谓词、预算、仪表，以及随机化交错的运行顺序。

1. σ 律选择器： 在 $J\le B$ 的约束下取 $a^{\ast }=\arg \max [H(a)-\lambda J(a)]$，拒绝时以收据记录。
2. 固定级联（最便宜者优先）： 采用最便宜且足够的规则，档位按固定顺序从最便宜者向上尝试。它是匹配的对照：相同的信息、档位、预算和拒绝权。只有选择规则不同。
3. 始终使用最大档位： 参考上限。
4. 始终使用最小档位： 参考下限，失败时拒绝。

两个选择器都是 Mixture of Limits 的实例。其理念是使用足够的最便宜档位，因为越过下限之后，额外的焦耳买不到可验证的进展。固定级联按固定顺序应用这一理念。σ 律选择器在下一次行动不再值回其焦耳时停止。这是一条阈值收敛规则，因此它同样是 Mixture of Limits 的一个实例。这一比较是同一理念的两个实例之间的比较。在代码和数据文件中，固定级联是实验组 mol，σ 律选择器是实验组 sigma。

8.4 预算、种子与统计

• 预实验在没有预算的条件下运行实验组 2，并记录每项任务实测焦耳的中位数 ${\tilde{J}}_q$。
• 预算水平为 $B\in \{0.25,0.5,0.75,1.0\}\times {\tilde{J}}_q$，外加无约束水平。只有当预实验中至少 20% 的任务超过某一水平时，该水平才具有约束力。不具约束力的水平照常报告，但从 D2 检验中排除。
• 每个实验组、任务和预算至少 10 个种子。如果预实验表明 10 个种子无法在 95% 置信度下分辨中位数 $J^{\ast }$ 的 10% 差异，则使用更多种子。
• 报告每项任务 $J^{\ast }$ 的均值、中位数、标准差和 95% 自助法置信区间。用 Wilcoxon 符号秩检验，以每项任务的中位数 $J^{\ast }$ 比较实验组 1 和 2，并给出效应量。
• 预注册指明主要终点。次要比较用 Holm 逐步向下程序校正。在运行之后才选定的分析，无论出现在何处（包括摘要中），都标注为事后分析，并且永远不作为头条结果。它只有在下一次运行的预注册中才能成为主要终点。

8.5 收据模式

收据是这次运行的记录。每次行动一条记录：

act_id, run_id, task_id, arm, seed, budget_j, gear
prediction_hash, prediction_ts        # R*, fixed before the act
outcome_hash, outcome_ts              # R
m                                     # 1, mu, or 0
coupled_bits_est                      # realized I(do(a); W'), bias-corrected, with interval
coupled_bits_bound                    # capacity bound, never credited as X
t_start, t_end
measured_j   {meter, domains, gross_j, idle_w, idle_subtracted_j}
reported_j   {meter, cpu_j, gpu_j, ane_j}    # powermetrics only
wall_j       {meter, gross_j, idle_w, idle_subtracted_j}
est_j        {model, inputs}                 # never merged with measured_j
cumulative_measured_j
refused, refuse_reason
passed_C
record_states, record_bits            # N and H of the act's record M_k
joule_share                           # P_k attribution when acts overlap
template_j   {meter, write_j, hold_j, reset_j}   # joules for R*
trajectory_j {tau, activity, work}    # physical runs only, Section 8.8

8.6 指标

• 每项任务的 $J^{\ast }$：通过 $C(z)$ 所需的实测焦耳，取自 M0（若有），否则取自 M1。
• 每个实验组、每个预算下的完成率。
• 超支：超过 $B$ 的行动。目标为零。
• 拒绝质量：以任一实验组证明在 $B$ 内不可行的任务为准，计算拒绝的精确率和召回率。
• 智能序列：每次运行的 ${\iota }_k=\Delta X_k/\Delta J_k$，及其在各种子间的离散程度。
• 加速度符号：按层将 ${\iota }_k$ 对累计 $J$ 回归所得 ${\alpha }_J$ 的符号。
• 估计值检验：est_j 与 measured_j 之间的 Kendall 秩相关。
• 与下限的距离：每个已确认耦合比特的实测焦耳除以所记录温度下的 $k_{B}T\ln 2$。
• 行动智能：每次行动的 ${\iota }_k=b_k/J_k$，它等于命题 5 在该行动上的密度。
• 模板占比：每次行动的 $J^{R^{\ast }}/J$ 以及曲线 $\iota (w)$（第 8.10 节）。

8.7 证伪条件，在任何运行之前固定

ID	观测	被推翻的论断
F1	在每个具约束力的预算下，中位数 $J^{\ast }$ 的配对差（σ 律减固定级联）的 95% 区间包含零或高于零	σ 律选择器在焦耳上胜过其公平对手
F2	任一实验组记录到超支	该实验组的拒绝实现
F3	对不可行任务的拒绝召回率低于 0.9，或超过 10% 的拒绝落在另一实验组在 $B$ 内完成的任务上	拒绝的正确性
F4	est_j 与 measured_j 之间的 Kendall 相关低于 0.8	用该估计器做任何排序
F5	在某项任务上，平均 $\iota$ 跨种子的变异系数超过 0.25	在该任务的粒度上解读 $\iota$
F6	在复利型层上，拟合所得 ${\alpha }_J$ 不能以 95% 置信度判定为正	这些任务上的复利效应
F7	一次运行中每个已确认比特的平均实测焦耳低于 $k_{B}T\ln 2$，或宏观机器的任一行动低于该值	核算本身：仪表或记账故障，须在报告任何其他结果之前修复
F8	在校准工作负载上，M1 与 M0 的差异超过 P6 中的误差界	该 RAPL 域在该机器上作为实测来源的资格
F9	某个物理行动循环在其记录的 $\tau$ 和 $⟨A⟩$ 下所做的功低于命题 1 的下限	该次运行的核算：遗漏了某个跃迁通道、势的校准有误或存在未计量的功来源
F10	某次平稳运行的 $\mathrm{Var}(N)/⟨N{⟩}^2$ 低于 $1/⟨K⟩$，且超出其置信区间	该次运行的跃迁计数：有些跃迁未被计入
F11	某个控制器以低于 $k_{B}T\ln 2{\log }_2|\lambda |$ 的每步实测焦耳保持住受控对象	该次运行的仪表或受控对象模型
F12	实测 $\iota (\tau )$ 的最大化点落在预测 1 的 ${\tau }^{\ast }\pm 2\delta {\tau }^{\ast }$ 之外，或 $\ln {\tau }^{\ast }$ 对 $\ln s$ 的斜率偏离 $-1/2$ 超过两个标准误；或某次运行的 $\iota$ 超过预测 1 的上限	同一仪表上行动焦耳与持续焦耳的可加性，以 $\iota$ 作为其密度；就上限而言，是该次运行的核算

8.8 物理行动循环

这些运行在物理下限处检验命题 1 至 4。功由实测轨迹和校准后的势计算，与 [61, 67, 70] 的做法相同。它记为 trajectory_j，从不与 measured_j、reported_j 或 est_j 合并。

• 电荷寄存器上的行动循环（命题 1 和 4）。 一个单电子盒或量子点保存一个一比特记录，与 [68, 70, 71] 相同。每个循环写入比较结果、执行行动，并在时间 $\tau$ 内重置记录。电荷探测器计数每一次隧穿跃迁，因此 $⟨A⟩$ 是实测的。在至少两个数量级的范围内扫描 $\tau$。结果形式：每个循环的功对照 $k_{B}T\ln 2+k_{B}T/(2\tau ⟨A⟩)$，即命题 1 在 $N=2$、$b=1$ 时的下限。
• 计数已确认的行动（命题 3）。 在同一寄存器上以稳态循环运行，在多个等长的重复窗口内计数已确认行动 $N$ 和全部跃迁 $K$。结果形式：$\mathrm{Var}(N)/⟨N{⟩}^2$ 对照 $1/⟨K⟩$，以及 $T_n$ 的离散程度对照 $1/(⟨T_n⟩⟨k⟩)$。在 [27] 那样的反馈阱信息引擎上，运行正向实验和反向实验，由实测轨迹计算 ${\sigma }_I$，并检验第 3 部分。
• 最优行动时间（预测 1）。 这是实验室检验。
  • 装置。 温度为 $T$ 的水中有一颗胶体珠，置于反馈阱中 [61]。每隔 $\Delta t$ 读取一次其位置，反馈力施加一个虚拟势 $U(x,t)$。功按随机能量学由轨迹计算，$W={\sum }_t{\partial }_{t}U(x_t,t)\Delta t$ [319]。一个坐标在虚拟双势阱中运行一比特行动循环，在时间 $\tau$ 内重置。另一个坐标被保持在虚拟倒置势阱 $U=-\frac{1}{2}k{x}^2$ 的顶部，其不稳定率 $\Lambda$ 由 $k$ 和胶体珠的迁移率决定。
  • 区块。 对每个 $\Lambda$ 值，三个区块以随机顺序交错运行。区块 A：不保持目标，只执行行动，在至少两个数量级上取九个或更多对数等距的 $\tau$ 值；它用于拟合 $J_0$ 和 $a$。区块 B：保持目标，不执行行动；它给出持续功率 $s$。区块 C：两者同时进行，取相同的 $\tau$ 值；它给出 $\iota (\tau )$。每个点至少 200 个循环。
  • $s$ 的扫描。 至少四个 $\Lambda$ 值，跨越至少一个数量级，从而使 $s$ 跨越至少一个数量级。
  • 拟合。 用加权最小二乘法将 $J(\tau )=J_0+a/\tau +s\tau$ 拟合到区块 C。在 $\ln \tau$ 上做局部二次拟合，于 $\iota (\tau )$ 的最大值处读取实测 ${\tau }^{\ast }$。由区块 A 和 B 计算 $\sqrt{a/s}$ 及其区间带 $\delta {\tau }^{\ast }$。用最小二乘法将 $\ln {\tau }^{\ast }$ 对 $\ln s$ 回归，并报告斜率及其标准误。
  • 证伪。 若斜率偏离 $-1/2$ 超过两个标准误，或某个实测 ${\tau }^{\ast }$ 落在 $\sqrt{a/s}\pm 2\delta {\tau }^{\ast }$ 之外，或区块 C 的每次行动焦耳与区块 A 和 B 之和的差异超出二者合并的 95% 区间，则该论断失败。最后一项检验是同一仪表上的可加性，即该预测的物理内容。
  • 功效。 斜率的标准误必须低于 0.1。否则该次运行报告为不确定，并扩展扫描范围。不确定的运行不算通过。
  • 第二种基底。 用带电荷探测器的单电子盒重复该方案，逐个跃迁计数 $⟨A⟩$ [70]。两种基底上结果一致才构成检验。
  • 所有功都由轨迹计算，并记为 trajectory_j。
• 保持一个不稳定的受控对象（命题 2）。 一个数字控制器以每秒 $f$ 步的速率保持一个受控对象，该对象有一个每步固定 $|\lambda |$ 的不稳定模态。用 M0 和 M1 计量控制器。记下每步记录所含的比特数。结果形式：每步实测焦耳除以 $k_{B}T\ln 2{\log }_2|\lambda |$，作为与下限的距离报告。扫描 $|\lambda |$ 和 $f$。

8.9 生命智能体：实测 ι

结果形式：生命制备物中的 $\iota$，即每次决策的比特数除以每次决策的焦耳数，两者取自同一制备物，并连同与下限的距离一起报告。只有当两项都是实测值时，生命体的 $\iota$ 才算实测。由电导计算或由成像推断的焦耳数字记为 est_j。由脑成像推断的熵产生是粗粒化的、信息性的，因此它不是焦耳仪表 [257]。

• 细菌趋化。 信息速率来自单细胞在确定梯度中的行为，如 Mattingly 及其同事所测量的那样 [213]。焦耳来自同一培养物的耗氧量除以细胞数。比较用的下限是经由细胞信号通道发送一个比特的代价，取自 Bryant 和 Machta [197]，与 $k_{B}T\ln 2$ 并列。
• 小鼠视觉皮层。 每次试验的朝向信息来自双光子成像，突触 ATP 消耗来自全细胞记录，如 Padamsey 及其同事同时获得这两者那样 [250]。食物限制会改变焦耳。信息对焦耳的实测响应，就是皮层中 $dX/dJ$ 的符号和大小。
• 果蝇记忆。 长期记忆形成过程中蘑菇体内的能量通量，按 Plaçais 及其同事的做法成像 [252]，按每个习得关联计算，以记忆保持作为确认。饥饿和干燥条件下的存活是结果代价 [251, 253]。

8.10 先预测的焦耳代价

结果形式。把每次行动的计量焦耳分为模板部分和其余部分，$J_k=J_k^{R^{\ast }}+J_k^{\mathrm{act}}$。$J_k^{R^{\ast }}$ 涵盖写入、保持和重置 $R^{\ast }(a)$。重置一个熵为 $H(R^{\ast })$ 比特的模板至少耗费 $H(R^{\ast })k_{B}T\ln 2$ [6, 24]。不做预测的记忆会带来耗散 [54]。当模板节省的行动焦耳超过其自身的焦耳时，模板就会提高 $\iota$。实测结果是关于模板宽度 $w$（即 $R^{\ast }$ 的比特数）的曲线 $\iota (w)$，及其最大化点 $w^{\ast }$ 和每一步的比值 $\Delta J^{\mathrm{act}}/\Delta J^{R^{\ast }}$。

方案。固定任务、档位、谓词和预算。在预设网格上改变 $w$。行动的结果一旦对照模板得到判定，该行动即可停止。对每次行动，在相同仪表上记录 template_j 和该行动其余的焦耳。

已有证据：有把握的预测使人类皮层耗氧量降低多达 12%，由代谢成像测得（预印本）[254]。在细胞网络中，最能预测未来的那些过去的比特，其代价高得令人却步 [198]。在感知-行动回路中，功效率高的智能体在预测与遗忘之间取得平衡 [234]。

8.11 第一次运行：笔记本电脑上由内核报告能耗的接受器

本次运行把第 8.1 节至第 8.7 节应用于一台机器上的一类任务。代码、任务集、收据和分析位于站点仓库的 experiments/agency-run 下。预注册及其证伪条件最先提交（e830bff）。随后是预实验和锁定的校准（5828420），然后是主运行（35c967a）。

方法。

• 智能体与任务。 一个 Python 进程完成数独谜题。当网格填满、每一行、每一列和每一宫都包含 1 到 9，且每个给定数都保持不变时，完成性谓词 $C(z)$ 通过。一项已确认的任务记入 $b=n_{\mathrm{empty}}{\log }_{2}9$ 比特，即该行动从中进行选择的填法数目。这是定义 1 的容量界。测试集包含 30 道谜题，每层 10 道（简单、中等、困难），由固定种子生成。另一组 30 道用于校准选择器。
• 档位。 g0 填入显性唯一数。g1 增加隐性唯一数。g2 增加深度优先搜索。
• 实验组。 σ 律选择器取 $a^{\ast }=\arg \max [H(a)-\lambda J(a)]$，其中 $H(a)$ 为在已尝试档位条件下的校准通过概率乘以 $b$，且 $\lambda =b/B$。固定级联（最便宜者优先）选取校准通过概率至少为 0.5 的最便宜档位。两者都在每次行动之前固定 $R^{\ast }$，用 SHA-256（安全哈希算法，256 位）对其做哈希并加时间戳。两者都在行动之后进行比较，并在没有任何行动符合预算时以收据拒绝。目标盲基线随机抽取一个档位，没有预测、没有比较、没有升档，也没有拒绝。预算会将其截断。
• 预算与种子。 对每项任务，$B\in \{0.5,1.0,2.0\}\times J_{g2}(q)$，后者为单独使用 g2 时的预实验中位数。水平 0.5 和 1.0 具有约束力：98% 和 40% 的预实验运行超过它们。水平 2.0 不具约束力（0.7%）。每个条件 20 个种子，按带种子的交错顺序运行。总计运行了 5,400 个回合，共 4,940 次行动。
• 能量标签。 每个焦耳都是 reported_j：内核对智能体的逐进程能量估计（来自 proc_pid_rusage 的 ri_energy_nj），在每次行动前后读取，无需特权。进程即智能体的边界。数独网格保存在该进程内部，因此世界 $W^{\prime }$ 并不像定义 2 所要求的那样位于 $S$ 之外。本次运行检验的是运动学和经门槛的排序，而不是定义本身。检验定义的运行会把网格放在套接字背后的第二个进程中，或放在微控制器上。measured_j 为空，因为没有接入墙插仪表。est_j 为周期数乘以 $4.20\times 10^{-10}$ J，即预实验的中位比值。

结果。 20 个种子上的均值 ± 标准差。一次运行是指一个实验组在一个预算水平下跑完全部 30 项任务。CV 为变异系数，即标准差除以均值。

实验组	$B/J_{g2}$	完成任务数（共 30）	$X$（比特）	$J$（报告值，mJ）	$\iota$（每报告焦耳比特数）	$\iota$ 的 CV	拒绝	截断	超支
σ 律	0.5	0.60 ± 0.50	108 ± 91	20.8 ± 0.3	5,254 ± 4,402	0.84	29.40	0	0
σ 律	1.0	9.10 ± 1.86	1,479 ± 316	43.8 ± 4.0	34,454 ± 10,007	0.29	20.90	0	9
σ 律	2.0	28.40 ± 0.60	4,823 ± 105	66.2 ± 5.8	73,345 ± 6,443	0.09	1.60	0	0
固定级联（最便宜者优先）	0.5	0.70 ± 0.47	126 ± 85	18.8 ± 0.3	6,801 ± 4,569	0.67	29.30	0	0
固定级联（最便宜者优先）	1.0	6.45 ± 1.50	1,047 ± 254	44.7 ± 3.6	23,804 ± 7,067	0.30	23.55	0	7
固定级联（最便宜者优先）	2.0	27.50 ± 0.51	4,668 ± 92	67.0 ± 6.7	70,418 ± 7,766	0.11	2.50	0	0
目标盲	0.5	0.25 ± 0.44	45 ± 80	14.1 ± 3.1	2,775 ± 4,999	1.80	0	20.35	20
目标盲	1.0	3.85 ± 1.84	623 ± 301	26.6 ± 5.7	24,153 ± 13,364	0.55	0	17.45	0
目标盲	2.0	18.25 ± 2.71	3,034 ± 471	34.1 ± 9.7	92,724 ± 15,690	0.17	0	1.35	0

• 每次行动。 共有 1,902 次行动得到确认。行动 $\iota$ 的中位数为每报告焦耳 $1.53\times 10^5$ 比特，四分位距为 $8.3\times 10^4$ 至 $4.7\times 10^5$。每个已确认比特的焦耳至少是 300 K 下 $k_{B}T\ln 2$ 的 $3.8\times 10^{14}$ 倍，中位数为 $2.3\times 10^{15}$ 倍。该下限允许每焦耳 $3.5\times 10^{20}$ 比特。
• 每项已完成任务的焦耳。 各实验组的中位数为：简单任务 0.34 至 0.38 mJ，中等任务 1.58 至 1.70 mJ，困难任务 4.05 至 4.28 mJ。
• 选择器，按种子配对（探索性，事后）。 这一分析是在运行之后选定的，因此属于探索性分析。在 $B=1.0J_{g2}$ 时，σ 律选择器每次运行比固定级联多完成 2.65 项任务（95% 自助法区间 1.5 至 3.8）。其运行 $\iota$ 高出每焦耳 10,650 比特（4,747 至 16,592）。在 $B=2.0J_{g2}$ 时，它多完成 0.9 项（0.55 至 1.25）。σ 律规则直接选用足够的档位，因此失败的轻量尝试所耗的焦耳留在了预算中。每项已完成任务的焦耳相等：在两个实验组于 $B=1.0J_{g2}$ 时都完成的 4 项任务上，配对区间为 $-7.9$ 至 $+15.5$ µJ（R-F1）。
• 封装交叉核对。 以非交互方式在 30 s 窗口上运行的 powermetrics，在智能体休眠时读到机器上其他工作产生的约 12.1 W CPU 功率和 13.6 W GPU 功率。按智能体自身的仪表，智能体增加了约 0.6 W。后台 CPU 功率在窗口之间变动约 0.5 W，因此扣除空闲后的封装焦耳为负值。逐进程仪表是本次运行的仪表。D1 和 D5 需要在其他方面都处于空闲的机器上使用墙插仪表。

证伪条件结果。 全部在运行之前固定。

ID	观测	结果
R-F1	在每个具约束力的水平下，中位数 $J^{\ast }$ 的逐任务配对差（σ 律减固定级联）的 95% 区间都包含零	触发。在 $B=1.0$ 时，两者都完成的任务有 4 项：区间为 $-7.9$ 至 $+15.5$ µJ。在 $B=0.5$ 时，没有两者都完成的任务。在两者都完成的任务上，焦耳相等
R-F2	任一回合结束时超出其预算	触发。5,400 个中有 36 个。在 $B=1.0$ 时，σ 律 9 个、固定级联 7 个，超出 0.07% 至 3.6%，原因是最后一次比较在守卫之外运行。目标盲在 $B=0.5$ 时 20 个，超出多达 33%，发生在宽度仅为几次仪表检查的预算上
R-F3	在不可行的任务水平组合上拒绝召回率低于 0.9，或超过 10% 的拒绝落在某个实验组于半数种子中完成的任务水平组合上	触发。在 41 个不可行任务水平组合上召回率为 1.00。13.1% 的拒绝落在某个实验组完成过的任务水平组合上
R-F4	每次行动 est_j 与 reported_j 之间的 Kendall tau-b 低于 0.8	未触发。在 4,000 次行动上为 0.96
R-F5	任一条件下运行 $\iota$ 的 CV 高于 0.25	在具约束力的水平上触发（0.29 至 1.80）。在 $B=2.0$ 时未触发（0.09、0.11、0.17）
R-F6	按 $J^{\ast }$ 的排序不同于按积分 $\iota$ 的排序	触发。在 $B=2.0$ 时，$J^{\ast }$ 的排序为 σ 律、固定级联、目标盲。积分 $\iota$ 把目标盲排在第一。在 $B=1.0$ 时，后两者互换
R-F7	某个已确认行动每比特低于 $k_{B}T\ln 2$	未触发。最低的行动高出 $3.8\times 10^{14}$ 倍
R-F8	在某个具约束力的水平上，目标盲的运行 $\iota$ 至少达到较好选择器的水平	未触发。在 $B=0.5$ 时为 2,775 对 6,801。在 $B=1.0$ 时为 24,153 对 34,454

本次运行确定了什么。

• $\iota$ 是从收据中逐次行动、逐次运行读出的，正如命题 5 和 6 所要求的那样。在宽松预算下，它在各种子间是稳定的。
• $J^{\ast }$ 是排序依据，而积分 $\iota$ 不是。目标盲智能体在宽松预算下的运行 $\iota$ 最高，但它只完成了 30 项任务中的 18 项，而对手完成了 28 项。它的失败代价低廉。$J^{\ast }$ 受 $C(z)$ 门槛约束，因此把该智能体排在最后。这就是第 2.3 节按 $J^{\ast }$ 排序、并以 $X_{\mathrm{req}}$ 作为门槛的原因。
• 探索性，事后：在具约束力的预算下，σ 律选择器比固定级联完成了更多任务，而每项已完成任务的焦耳相等。收益在于哪些任务能放进预算，而不在于以更低代价完成同一任务。第 8.11.2 节说明后续运行复现了什么。
• 下一次运行之前要做两项实现修正。比较和收据写入移入受守卫区域。每次行动之前先计入一个实测的完成成本。

图 4 把门槛与宽松预算下的实测排序并列展示。

8.11.1 第二次运行：带守卫的接受器，40 个种子

本次运行与第 8.11 节使用相同的任务类别、相同的档位和相同的三个实验组，并在同一台笔记本电脑上进行。第二次运行的预注册最先提交（610dd4c）。随后是预实验和锁定的校准（c88511f），然后是主运行（920d7e2）。预测 1 在本次运行中没有软件对应物：智能体既没有随行动时间下降的已声明行动成本，也没有由其控制的持续成本，因此预注册声明不运行剂量反应设计。

方法。

• 守卫。 一个回合的每个焦耳都在守卫之内计入：选择、哈希、档位步骤、比较、收据和最后读取。开启检查时取已花费量 $=0$。两个定律实验组在守卫未通过时拒绝。目标盲实验组被截断。
• 拒绝阈值。 两个选择器在预算符合性检验中都使用校准成本的 $r$ 分位数。$r$ 在主运行之前由校准回放锁定：$r=0.1$，在校准划分上召回率为 1.0，精确率约为 0.976。
• 预算与种子。 对每项任务，$B\in \{0.5,1.0,2.0\}\times J_{g2}(q)$，后者为单独使用 g2 时的预实验中位数。水平 0.5 和 1.0 具有约束力：超过它们的预实验比例为 0.98 和 0.4。水平 2.0 不具约束力（0.0067）。每个条件 40 个种子。总计运行了 10,800 个回合。
• 安静窗口。 未能实现安静。探测一直运行到时限。开始前的最后一次探测在当地时间 21:46，记录到其他进程的 CPU 占用接近单核的 621%，排在前列的是 mediaanalysisd 和编辑器辅助进程。基线封装功率约为 21.4 W。主窗口中的封装功率约为 22.7 W。本次运行记录 quiet_window = no。
• 能量标签。 每个焦耳都是 reported_j：内核对智能体的逐进程能量估计（来自 proc_pid_rusage 的 ri_energy_nj），用于交叉核对的封装数字取自 powermetrics。est_j 为周期数乘以 $1.783\times 10^{-9}$ J，在预实验中锁定。measured_j 为空：没有接入墙插仪表。
• 封装交叉核对。 在主窗口中，进程仪表读数为 42.35 J。封装净焦耳为 121.81 J，与进程读数之比约为 2.88。基线封装漂移约为 $-0.082$ W。由于 quiet_window = no，交叉核对被声明为无法实现。逐进程仪表仍是本次运行的仪表。

结果。 40 个种子上的均值 ± 标准差。一次运行是指一个实验组在一个预算水平下跑完全部 30 项任务。CV 为变异系数，即标准差除以均值。$J$ 以毫焦耳报告，以便与第 8.11 节比较。

实验组	$B/J_{g2}$	完成任务数（共 30）	$X$（比特）	$J$（报告值，mJ）	$\iota$（每报告焦耳比特数）	$\iota$ 的 CV	拒绝	截断	超支
σ 律	0.5	0.62 ± 0.49	113 ± 89	59.5 ± 2.0	1,942 ± 1,525	0.785	29.38	0	0
σ 律	1.0	2.90 ± 1.74	523 ± 314	133.7 ± 13.8	4,150 ± 2,892	0.697	27.10	0	0
σ 律	2.0	22.73 ± 1.30	3,980 ± 206	197.3 ± 18.2	20,359 ± 2,388	0.117	7.28	0	0
固定级联（最便宜者优先）	0.5	0.57 ± 0.50	104 ± 90	60.1 ± 2.1	1,777 ± 1,548	0.871	29.43	0	0
固定级联（最便宜者优先）	1.0	2.67 ± 1.25	483 ± 226	140.3 ± 13.5	3,593 ± 1,948	0.542	27.32	0	0
固定级联（最便宜者优先）	2.0	19.93 ± 1.42	3,509 ± 227	201.2 ± 20.4	17,684 ± 2,909	0.164	10.07	0	0
目标盲	0.5	0.12 ± 0.33	23 ± 61	35.4 ± 11.6	513 ± 1,397	2.723	0	22.85	0
目标盲	1.0	1.00 ± 0.93	181 ± 169	72.0 ± 19.5	2,661 ± 2,579	0.969	0	20.00	0
目标盲	2.0	10.65 ± 2.27	1,859 ± 400	97.3 ± 30.1	20,302 ± 5,766	0.284	0	8.70	0

• 每次行动。 共运行 7,960 次行动，其中 2,448 次得到确认。在 4,000 次行动上，est_j 与 reported_j 之间的 Kendall tau-b 为 0.942。行动 $\iota$ 的中位数约为每报告焦耳 $3.11\times 10^4$ 比特。每个已确认行动的每比特焦耳都远高于 $k_{B}T\ln 2$：最低者约为该下限的 $6.4\times 10^{14}$ 倍。
• 拒绝。 在 49 个不可行组合上召回率为 1.0。共有 5,223 次拒绝。落在某个实验组完成过的任务上的拒绝比例约为 0.081。
• 超支。 没有回合在结束时超出预算。最大超支比例为 $-0.03684$：每个回合都在预算之内结束。
• 选择器，按种子配对。 这一分析已在预注册中声明。在 $B=2.0J_{g2}$ 时，σ 律选择器每次运行比固定级联多完成 2.8 项任务（95% 自助法区间 2.3 至 3.275）。其运行 $\iota$ 高出每焦耳 2,674 比特（1,831 至 3,504）。在 40 个种子中的 39 个上，σ 律选择器完成的任务更多。在 $B=0.5$ 和 $B=1.0$ 时，完成任务数之差的区间包含零。这些结果没有触发任何证伪条件。

证伪条件结果。 全部在运行之前固定。表中把第二次运行的结果与第一次运行的结果并列。

ID	观测	运行 2	运行 1
R-F1	在每个具约束力的水平下，中位数 $J^{\ast }$ 的逐任务配对差（σ 律减固定级联）的 95% 区间包含零或高于零	未触发，因为无法形成区间：在 $B=1.0$ 时没有两者都完成的任务，在 $B=0.5$ 时有一项。共享任务的焦耳没有显示出 σ 律带来的节省	触发
R-F2	任一回合结束时超出其预算	未触发。10,800 个中为 0 个。守卫计入了比较、收据和最后读取	触发
R-F3	在不可行组合上拒绝召回率低于 0.9，或超过 10% 的拒绝落在某个实验组完成的组合上	未触发。在 49 个不可行组合上召回率为 1.0。落在某个实验组完成过的任务上的比例约为 0.081。$r$ 分位数拒绝阈值是相对运行 1 的改动	触发
R-F4	每次行动 est_j 与 reported_j 之间的 Kendall tau-b 低于 0.8	未触发。在 4,000 次行动上为 0.942	未触发
R-F5	任一条件下运行 $\iota$ 的 CV 高于 0.25	在具约束力的水平上触发（0.54 至 2.72），目标盲实验组在 $B=2.0$ 时也触发（0.284）。两个选择器在 $B=2.0$ 时均未触发（0.117、0.164）	触发
R-F6	按 $J^{\ast }$ 的排序不同于按积分 $\iota$ 的排序	触发。在 $B=2.0$ 时，$J^{\ast }$ 的排序为 σ 律、固定级联、目标盲。积分 $\iota$ 的排序为 σ 律、目标盲、固定级联	触发
R-F7	某个已确认行动每比特低于 $k_{B}T\ln 2$	未触发。最低的行动约高出 $6.4\times 10^{14}$ 倍	未触发
R-F8	在某个具约束力的水平上，目标盲的运行 $\iota$ 至少达到较好选择器的水平	未触发。在 $B=0.5$ 时为 513 对 1,942。在 $B=1.0$ 时为 2,661 对 4,150	未触发

本次运行确定了什么。

• 守卫解决了 R-F2。超支为零。
• 拒绝分位数解决了 R-F3。召回率保持为 1.0，落在可完成任务上的拒绝比例降到 10% 以下。
• $J^{\ast }$ 仍是排序依据。在宽松预算下，积分 $\iota$ 仍与之不一致（R-F6）。
• 在具约束力的预算下，运行 $\iota$ 在各种子间仍不稳定（R-F5）。
• R-F1 未触发，只是因为两个选择器都完成的任务太少，无法形成区间。没有任何一次运行显示 σ 律选择器以更少的焦耳完成共享任务。$B=2.0$ 时按种子配对的收益在于完成了更多任务，而不在于以更低代价完成相同的任务。

8.11.2 第二台机器：使用封装能量计数器的复现

本次运行在第二台机器上、使用不同的能量计数器重复第 8.11.1 节的第二次运行方案。它是选择器比较的复现，而不是能量测量。代码、收据和摘要位于 experiments/agency-run：PREREGISTRATION_v2_jetson.md 及其修正案 1、results_jetson/summary.md（A 部分）和 results_jetson_cyc/summary.md（B 部分）。预注册补充最先提交（cb059f0），然后是仪表后端和测试框架（1938577），然后是修正案 1（7703822）。接着是 A 部分的预实验（6ddd086）和主运行（a652503），然后是 B 部分的预实验（3fde1fb）和主运行（1bb2444）。

方法。

• 机器。 一台 Linux 笔记本电脑，配有 14 核 x86 处理器：6 个各带 2 个线程的性能核和 8 个能效核。睿频关闭。每个核心都固定在其基础频率：性能核 2.6 GHz，能效核 1.9 GHz。智能体被固定在一个性能核线程上运行，每次一个回合。区块期间智能体所在核心的频率中位数为 2.6 GHz。运行之后恢复了原始设置。
• 未改变的部分。 任务、谓词、耦合比特、档位 g0 至 g2、三个实验组、守卫、拒绝回放、预算水平 $B\in \{0.5,1.0,2.0\}\times J_{g2}(q)$、每部分 40 个种子和 10,800 个回合、证伪条件 R-F1 至 R-F8 以及按种子配对的分析，均与第 8.11.1 节相同。
• 能量计数器。 RAPL（Running Average Power Limit）是处理器片上的封装能量计数器。每个区间计入的是封装焦耳减去该区块的空闲基线功率乘以该区间的秒数。RAPL 是芯片内部的模型与传感器，而不是墙插仪表。它计入封装上的每一个进程。
• 安静窗口。 未能实现安静：quiet_window = no。一个 CI（持续集成）运行器在整个过程中都在这台机器上构建 Rust 代码。开始前的 40 次探测看到其他进程占用 1.0 至 20.0 个核心，封装功率为 2.3 至 28.7 W。在 A 部分的 360 个区块中，有 180 个在开始前满足了逐区块门槛；在 B 部分为 360 个中的 244 个。分别有 98 个和 208 个区块在其整个时长内保持安静。
• A 部分。 智能体的仪表是在每次行动前后读取的 RAPL。每个数字都是 reported_j。
• B 部分。 修正案 1 在任何预实验之前加入了这一部分，因为一项测试框架检验显示，行动持续约 0.01 至 6 ms，而 RAPL 大约每 1 ms 更新一次，步长约为 5 至 60 mJ。智能体的仪表是 est_j：智能体线程的用户态周期数乘以 $c$。$c$ 在 B 部分预实验中以 RAPL 为基准校准，扣除空闲，共 8 轮、每轮 3 s，在第二次尝试时完成：$c=6.576\times 10^{-10}$ J/周期，由 62,516,635,701 个周期上的 41.11 J 封装净能量得出。B 部分的每个焦耳数字都是 est_j。在其旁记录的 RAPL 数字仍为 reported_j。
• 标签。 两个部分中 measured_j 均为空。没有接入墙插仪表或分流仪表。
• 实验组名称。 实验组名称及其代码字段遵循第 8.3 节。目标盲基线为 blind。

A 部分结果：每次行动读取 RAPL。 40 个种子上的均值 ± 标准差。$J$ 为以焦耳计的 reported_j，与摘要一致。水平 0.5、1.0 和 2.0 都具有约束力：分别有 0.647、0.40 和 0.353 的预实验 g2 运行超过它们。

实验组	$B/J_{g2}$	完成任务数（共 30）	$X$（比特）	$J$（报告值，J）	$\iota$（每报告焦耳比特数）	$\iota$ 的 CV	拒绝	截断	超支
σ 律	0.5	0.00	0	0.0018	0	不适用	30.00	0.00	323
σ 律	1.0	0.00	0	0.0002	0	不适用	30.00	0.00	322
σ 律	2.0	1.00 ± 0.39	181 ± 71	0.0018 ± 0.0336	14,427 ± 18,680	1.295	29.00	0.00	322
固定级联（最便宜者优先）	0.5	0.00	0	-0.0008	0	不适用	30.00	0.00	326
固定级联（最便宜者优先）	1.0	0.00	0	-0.0005	0	不适用	30.00	0.00	324
固定级联（最便宜者优先）	2.0	1.00 ± 0.51	181 ± 91	0.0107 ± 0.0286	15,451 ± 23,767	1.538	29.00	0.00	320
目标盲	0.5	0.00	0	0.0026	0	不适用	0.00	30.00	327
目标盲	1.0	0.00	0	0.0009	0	不适用	0.00	30.00	323
目标盲	2.0	0.28 ± 0.45	50 ± 82	0.0019 ± 0.0180	3,801 ± 13,749	3.618	0.00	28.90	321

• 计数器分辨率。 回合时长的中位数约为 0.04 ms。10,800 个回合中有 10,075 个未看到封装计数器的任何变化。有 10,549 个回合在扣除空闲后 reported_j 小于或等于零。
• 预算。 $J_{g2}$ 的预实验中位数范围为 $-0.0110$ 至 $0.0914$ J，中位数为 $0.0097$ J。守卫的开启阈值为 0.117 J。在三个水平下，分别有 30、30 和 28 项（共 30 项）任务的预算低于该阈值，因此两个定律实验组几乎拒绝了每一项任务。
• 超支。 每个条件记录了 320 至 327 次超支。最大超支比例为 10.86。若一种计费方式对大多数行动读数为零、对少数行动读数为一个完整的计数器步长，它就无法守住几毫焦耳的预算。
• 每次行动。 共运行 137 次行动，其中 91 次得到确认。44 次行动读数为零。26 次已确认行动的读数小于或等于零。在 93 次行动上，est_j 与 reported_j 之间的 Kendall tau-b 为 0.368。
• 交叉核对。 区块封装净值为 3.445 J，而各回合累加为 2.737 J，比值为 0.794。空闲封装功率在运行前为 4.01 W，运行后为 5.55 W。交叉核对被声明为无法实现。
• 选择器，按种子配对。 在 $B=2.0J_{g2}$ 时，完成任务数之差为 0（95% 自助法区间 $-0.15$ 至 $0.15$）。运行 $\iota$ 之差为每报告焦耳 1,328 比特（$-8,971$ 至 $12,581$）。40 个种子中有 30 个持平。在 0.5 和 1.0 时，没有实验组完成任何任务。

B 部分结果：周期计数乘以经 RAPL 校准的常数。 40 个种子上的均值 ± 标准差。$J$ 为以焦耳计的 est_j，与摘要一致。水平 0.5 和 1.0 具有约束力：分别有 0.98 和 0.40 的预实验 g2 运行超过它们。水平 2.0 不具约束力（0.0）。

实验组	$B/J_{g2}$	完成任务数（共 30）	$X$（比特）	$J$（估计值，J）	$\iota$（每估计焦耳比特数）	$\iota$ 的 CV	拒绝	截断	超支
σ 律	0.5	1.10 ± 0.98	200 ± 178	0.0345 ± 0.0017	6,027 ± 5,458	0.906	28.90	0.00	0
σ 律	1.0	8.75 ± 3.14	1,574 ± 565	0.0805 ± 0.0098	20,519 ± 8,516	0.415	21.25	0.00	0
σ 律	2.0	28.60 ± 0.98	4,882 ± 154	0.1008 ± 0.0234	50,667 ± 10,088	0.199	1.40	0.00	0
固定级联（最便宜者优先）	0.5	1.15 ± 0.92	208 ± 167	0.0366 ± 0.0013	5,833 ± 4,757	0.816	28.85	0.00	0
固定级联（最便宜者优先）	1.0	9.22 ± 3.07	1,660 ± 551	0.0813 ± 0.0106	21,412 ± 8,130	0.380	20.77	0.00	0
固定级联（最便宜者优先）	2.0	27.77 ± 2.30	4,745 ± 377	0.1099 ± 0.0339	47,108 ± 13,216	0.281	2.23	0.00	0
目标盲	0.5	0.20 ± 0.46	36 ± 84	0.0210 ± 0.0055	1,722 ± 3,927	2.280	0.00	21.50	0
目标盲	1.0	3.73 ± 2.12	667 ± 381	0.0436 ± 0.0140	16,393 ± 9,246	0.564	0.00	16.68	0
目标盲	2.0	15.65 ± 2.50	2,662 ± 433	0.0499 ± 0.0160	57,266 ± 14,596	0.255	0.00	4.17	0

• 每次行动。 共运行 7,800 次行动，其中 3,847 次得到确认。行动 $\iota$ 的中位数为每估计焦耳 69,892 比特，四分位距为 35,759 至 146,697。每个已确认行动的每比特焦耳都远高于 $k_{B}T\ln 2$：最低者约为该下限的 $3.6\times 10^{14}$ 倍，中位数约为 $5.0\times 10^{15}$ 倍。
• 拒绝。 在 45 个不可行组合上召回率为 1.0。共有 4,136 次拒绝。落在某个实验组完成过的任务上的拒绝比例约为 0.071。
• 超支。 没有回合在结束时超出预算。最大超支比例为 $-0.03977$。
• 共享任务。 在 $B=1.0$ 时，有 9 项任务被两个选择器都完成。中位数 $J^{\ast }$ 的逐任务配对差（σ 律减固定级联）均值为 $1.02\times 10^{-4}$ J（95% 区间 $-5.23\times 10^{-4}$ 至 $6.03\times 10^{-4}$，Wilcoxon $p=0.214$）。在 $B=0.5$ 时，有一项任务被两者都完成，差值为 $-6.68\times 10^{-6}$ J。在 $B=2.0$ 时，有 29 项任务被两者都完成，平均差值为 $-2.65\times 10^{-4}$ J（$-6.63\times 10^{-4}$ 至 $5.67\times 10^{-5}$，$p=0.358$）。
• 选择器，按种子配对。 在 $B=2.0J_{g2}$ 时，σ 律选择器每次运行比固定级联多完成 0.825 项任务（95% 自助法区间 0.125 至 1.575）。其运行 $\iota$ 高出每估计焦耳 3,559 比特（$-1,068$ 至 $8,320$）。40 个种子中有 9 个有利于 σ 律选择器，27 个持平。在 $B=0.5$ 时，完成任务数之差为 $-0.05$（$-0.45$ 至 $0.35$）。在 $B=1.0$ 时为 $-0.475$（$-1.8$ 至 $0.775$）。
• 估计值与计数器的对照。 在 4,000 个回合上，每个回合的 est_j 与同一回合的 RAPL 封装净值之间的 Kendall tau-b 为 $-0.037$。10,800 个回合中有 5,258 个未看到封装计数器的任何变化。按区块累加，est_j 为 23.23 J，而 RAPL 封装净值为 17.14 J，比值为 1.355。空闲封装功率在运行前为 9.37 W，运行后为 3.17 W。交叉核对被声明为无法实现。

证伪条件结果。 全部在运行之前固定。按修正案 1 的规定，B 部分以对照 RAPL 的回合检验取代 R-F4。在运行 2 以及这里的两个部分中，“未触发”表示该观测没有发生。

ID	观测	A 部分（每次行动读取 RAPL）	B 部分（周期模型）	运行 2
R-F1	在每个具约束力的水平下，中位数 $J^{\ast }$ 的逐任务配对差（σ 律减固定级联）的 95% 区间包含零或高于零	未触发，因为无法形成区间：只有一项任务被两者都完成，发生在 $B=2.0$ 时，差值为 $-0.0052$ J，其他水平上没有	未触发，因为该观测要求每个具约束力的水平都满足，而 $B=0.5$ 只有一项共享任务（$-6.68\times 10^{-6}$ J），无法形成区间。在 $B=1.0$ 时区间包含零	未触发
R-F2	任一回合结束时超出其预算	触发。每个条件 320 至 327 次	未触发。10,800 个中为 0 个	未触发
R-F3	在不可行组合上拒绝召回率低于 0.9，或超过 10% 的拒绝落在某个实验组完成的组合上	未触发。在 88 个组合上召回率为 1.0。比例为 0.0011	未触发。在 45 个组合上召回率为 1.0。比例为 0.071	未触发
R-F4	A 部分：每次行动 est_j 与 reported_j 之间的 Kendall tau-b 低于 0.8。B 部分：回合 est_j 与回合 RAPL 净值之间的 tau-b 低于 0.8	触发。在 93 次行动上为 0.368	触发。在 4,000 个回合上为 $-0.037$	未触发
R-F5	任一条件下运行 $\iota$ 的 CV 高于 0.25	触发（1.295 至 3.618）	触发。在具约束力的水平上为 0.380 至 2.280。在 $B=2.0$ 时：σ 律 0.199，固定级联 0.281，目标盲 0.255	触发
R-F6	按 $J^{\ast }$ 的排序不同于按积分 $\iota$ 的排序	触发。在 $B=2.0$ 时，$J^{\ast }$ 的排序为 σ 律、固定级联、目标盲。积分 $\iota$ 把固定级联排在第一	触发。在 $B=2.0$ 时，$J^{\ast }$ 的排序为 σ 律、固定级联、目标盲。积分 $\iota$ 的排序为目标盲、σ 律、固定级联	触发
R-F7	某个已确认行动每比特低于 $k_{B}T\ln 2$	触发。26 次已确认行动的读数小于或等于零，这使它们低于下限。这是计数器量化所致	未触发。最低的行动约高出 $3.6\times 10^{14}$ 倍	未触发
R-F8	在某个具约束力的水平上，目标盲的运行 $\iota$ 至少达到较好选择器的水平	触发。在 $B=0.5$ 和 $1.0$ 时，每个实验组的读数都是 0	未触发。在 $B=0.5$ 时为 1,722 对 6,027。在 $B=1.0$ 时为 16,393 对 21,412	未触发

这次复现确定了什么。

• 逐次行动读取的 RAPL 无法计量短于一毫秒的行动。大多数回合没有看到计数器更新，因此守卫仅因量化就出现了拒绝或超支。A 部分是一个关于仪表分辨率的结果。它对选择器没有任何说明。
• 使用周期仪表时，选择结果在 $B=2.0$ 时与运行 2 符号相同：σ 律选择器每次运行完成了更多任务。收益较小（0.825 对 2.8），而且水平 2.0 在这台机器上不具约束力。在具约束力的水平上，区间包含零。
• 周期模型没有逐回合跟踪封装计数器（tau-b $-0.037$），其区块总量是计数器净值的 1.355 倍。B 部分的焦耳按周期数对行动排序。它们不是能量读数。
• 这里共享任务的焦耳同样没有显示出 σ 律带来的节省。σ 律选择器有所收益之处，收益在于完成的任务数，而不在于以更低代价完成同一任务。
• 本节中没有任何数字是 measured_j。

图 5 把三次运行的完成任务结果并列展示。

哪些得到复现，哪些没有。 运行 1 的选择器结果是探索性的。后来的两次运行在预注册下对其进行了检验。

运行 1 的论断（探索性）	运行 2（预注册）	第二台机器，B 部分（预注册）
在 $B=1.0J_{g2}$ 时完成更多任务：+2.65（1.5 至 3.8）	未复现。区间包含零	未复现。$-0.475$（$-1.8$ 至 $0.775$）
在 $B=2.0J_{g2}$ 时完成更多任务：+0.9（0.55 至 1.25）	已复现。+2.8（2.3 至 3.275）	已复现。+0.825（0.125 至 1.575）
每项已完成任务的焦耳	相等。没有共享任务上的节省	相等。共享任务的区间包含零

得到复现的结果范围很窄。在最宽松的预算水平下，σ 律选择器在两台机器上都比固定级联完成了更多任务。没有任何一次运行显示同一已完成任务所耗焦耳更少，而运行 1 在具约束力预算下的收益没有得到复现。A 部分是一个关于仪表分辨率的结果，不检验任何一项论断。

下一次运行的测量方案。 两个部分都在仪表上失败，因此在再次检验选择器之前先修改方案。

1. 空闲机器。 不停止任何属于他人的东西。等待一个安静窗口，或安排一个：在整个运行期间其他进程占用不超过 0.5 个核心，并记录 quiet_window = yes。如果未达到安静，则不开始运行。
2. 墙插或分流仪表。 接入墙插功率计，或在供电轨上接入分流仪表，采样速度快于一次行动。只有它的读数填入 measured_j。
3. 先做分辨率检查。 在预实验之前，对照行动时长的中位数记录仪表的更新间隔和步长。如果仪表无法分辨单次行动，则按区块计量行动并按计数分摊，并在预注册中说明这一点。
4. 在仪表上校准估计值。 在区块层面以墙插或分流仪表为基准拟合 est_j，并要求在 est_j 驱动守卫之前 R-F4 未触发。
5. 固定并记录。 固定频率，在运行前后记录空闲基线，报告漂移，并把封装计数器保留为带标签的交叉核对。
6. 任务完成是首要的。 下一次运行的预注册把任务完成设为主要终点：在每个预算水平下按种子配对的完成任务数之差（σ 律减固定级联），并在各水平间进行 Holm 逐步向下校正。共享任务的焦耳（R-F1）为次要终点。

8.12 报告

随结果一起公布所有收据、原始仪表迹线、空闲基线和分析代码。把实测、报告和估计的焦耳分列报告。绝不跨等级求和。说明哪些证伪条件被触发，并使其与通过者同样醒目。每次运行还要回答 Takahashi 和 Hayashi 的检查清单 [239]：核算边界；能量平衡项（储存的能量和输出的功，或说明它们可以忽略）；基线，以及焦耳是总量还是增量；结果的粗粒化；时间范围与重置方案；与每焦耳比特数并列的挂钟时间和平均功率；以及耦合比特的估计器及其偏差校正。

参考文献

Entries marked “preprint” are cited by their arXiv posting. Entries published in a language other than English say so.

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